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복소수 공간에서의 푸리에 급수Math♾️/Fourier Analysis 2022. 6. 20. 12:05
푸리에 급수의 의미 푸리에 급수를 이용하여 함수 f(x)를 k(진동수)를 증가시켜가면서 각 k에서의 사인과 코사인을 직교 기저로 하는 벡터의 합으로 나타낼 수 있었다. 복소수를 포함하는 경우 푸리에 급수 $c_k$는 실수부와 허수부로 나누어지는 복소수이다. 또한 $e^{ikx}$는 오일러 공식에 따라 $cos$와 $sin*i$의 형태로 나타낼수 있다. 위를 양수부와 음수부 그리고 0으로 범위를 나누어서 나타내면 다음과 같다. 위의 식을 전개해서 실수부와 허수부로 나누면 만약 함수 $f(x)$가 실수값을 갖는다면 허수부는 0이 되므로 $e^{ikx}$는 직교기저이다. $e^{ikx}$를 $\psi_k$라고 해보자 (이때 $k$는 정수이다.) 함수간의 내적은 다음과 같이 표현된다. $\psi_k$와 $\ps..
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부분게임완전균형의 한계Game Theory 2022. 6. 12. 19:00
역진귀납법을 이용한 균형은 경기자들이 균형에서의 도달여부와 관계없이 모든 부분게임에서 합리적으로 행동하도록 함으로서 비현실적인 내쉬균형을 제거하여 SPNE(부분게임완전균형)을 얻었다. 하지만 게임에 불완비정보가 존재하는 경우 SPNE만으로는 완전히 합리적인 균형을 얻을 수 없는 경우가 존재한다. 진입게임을 통하여 위의 각 균형이 무엇인지 알아보자. 진입게임 기업1은 시장에 진입여부를 고민하는 기업으로 기업1의 전략은 다음과 같다. $S_1=\{N(포기),E(진입)\}$ 기업2는 시장에 이미 존재하고 있던기업으로 기업1이 시장에 진입(E)시 받아들이지 싸울지를 고민한다. 기업2의 전략은 다음과 같다. $S_2=\{A(수용),F(싸움)\}$ 내쉬균형(NE) 위의 게임트리를 보수행렬로 나타내면 아래와 같다. ..
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인지의 한계Bull-shit🐶 2022. 6. 9. 10:41
세상이 아니라 인간이 세상을 인지하는 방법이 너무 복잡하게 설계되어 있는 것은 아닐까? 우리가 존재하는 세상은 사실 아주 단순한 원리를 바탕으로 이루어져 있지만 인간 신체의 한계로 인해 주변을 왜곡해서 받아들이기 때문에 세상이 완전히 꼬여버린 실타래처럼 느껴지는 것이 아닐까? 왜곡된 렌즈로 본 상도 원래의 물체로부터 빛이 오기만 했다면 적당히 물체의 형체를 알 수 있는 것처럼 인간들이 자연을 설명하기 위해 내놓은 원리들도 비록 너무 복잡하게 바뀐 인지의 결과였지만 적당히 자연을 설명할 수 있었던 것은 아닐까? 어느정도의 성과가 나오니 의심없이 인지하는 대로 세상이 이루어졌다는 믿음에 갇혔다면? 세상의 본질에 대한 진실이 있다고 해도 인간의 인지를 벋어나야만 설명할 수 있다면 그것이 설명이 되었다고 볼 수..
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비우지 못한 곳Bull-shit🐶 2022. 6. 8. 23:22
인류의 조상이 누구인지 정확히 알 수는 없지만 그들과 우리의 공통점을 말해보라고 하면 하나는 분명히 말할 수 있다. 그들도 살고자 발버둥 쳤다. 인간이기 이전에 생명체로서 생존본능은 존재했을 것이다. 왜 살아야하는지 이유는 모르지만 일단은 살고 싶었을 것이다. 자연의 불확실성은 생존본능이 모든 것을 지배하기에 좋은 조건이었다. 정말 생존을 위해 필요한 요소들만을 정신과 신체에 익혀나갔을 것이다. 생존본능은 우연히 만난 불 가까이로 사람들을 인도했고 다른 생명체들과의 경쟁에서 살아남기 위해 서로를 뭉치게 했으며 길에서 만나는 열량들보다 더 확실한 열량을 얻기 위해 무언가를 기르게 했다. 인간이 현재 먹이사슬에 꼭대기에 위치하게 된 이유는 지구를 거쳐간 생명체들 중에서 가장 살고자 하는 본능이 강했기 때문이..
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수입동등정리와 승자의 저주Game Theory 2022. 6. 7. 11:32
경매인의 입장에서는 입찰자들의 경쟁을 최대화하여 더 높은 가격을 쓰도록 경매를 설계하여 높은 수익을 얻으려 할 것이다. 하지만 몇가지 조건을 만족한다면 경매의 기대 수익은 모두 같으며 이를 수입 동등정리라고 한다. 수입동등정리(revenue equivalence theorm) 조건 1 입찰자들이 위험중립적이다. 입찰자들의 효용은 가치평가액에 의해서만 결정되며 위험은 고려하지 않는다. 따라서 효용함수는 일차함수의 형태를 가진다. 조건2 가치액이 공통 확률분포로 부터 독립적으로 결정된다. 입찰자들이 동일확률분포로 부터 각자의 가치평가액을 추출하며 추출은 각 입찰자들이 서로에 대해 영향을 주고 받지 않으며 진행된다. 조건3 평가가치액이 가장 높은 입찰자가 항상 승리한다. 조건4 평가가치액이 가장 낮은 입찰자의..
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차최고가 밀봉 경매Game Theory 2022. 6. 7. 11:00
차최고가 밀봉 경매 차최고가 밀봉경매는 임의의 가치평가액 분포를 가진 경매의 참여자들 중 최고가(가장높은 가격)를 써낸 입찰자가 낙찰받아 차최고가(두번째로 높은가격)로 물건의 값을 지불하는 형태의 경매 - 낙찰자: 최고가 입찰자 - 낙찰가: 차최고가 차최고가 밀봉 경매의 균형 차최고가 경매에서는 모든 경기자가 자신의 가치평가액($v_i$)를 그대로 입찰가($b_i$)로 제출하는 것이 약우월 전략이기 때문에 모든사람이 자신의 가치평가액을 그대로 입찰하는 것이 차최고가가경매의 BNE(베이지안 내쉬 균형)이다. * 약우월 전략: 경기자의 전략 중 한 전략에 대한 효용이 다른 전략들에 효용에 비해 작지 않으며 다른 전략들 중 하나 이상에 대해 더 큰 효용을 줄 때 해당 전략을 다른전략들에 대해 약우월하다고 한다..
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최고가밀봉경매Game Theory 2022. 6. 5. 10:24
최고가밀봉경매는 입찰자들이 상대방들의 가격(전략)을 모르는 상태에서 자신의 가격(전략)을 결정하는 불완비정보하의 동시게임이다. 상황 - 경기자: 1,2 가치평가액 $v_i \sim U[0,1]$ -> 경매에 1,2가 참가하고 각 경기자는 경매물품에 대한 자신들만의 가치평가액 $v_i$를 가지고 있으며 $v_i$는 균일분포에서 결정된다. - 상대방보다 가격이 높을시 물건을 휙득, 가격이 같을 시에는 1/2 확률로 물건을 휙득한다. - 물건을 휙득시에는 자신의 입찰액 $b$를 지불한다. - 보수구조는 아래와 같다. 1. 물건을 휙득시: $v-b$ (자신이 물건에 평가한 가치 평가액)-(자신이 실제로 지불한 금액) 2. 물건을 휙득 실패시: 0 - 각 경기자들은 선형전략을 취한다고 가정한다. 선형전략 $b=k..
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경매(auction)의 개념Game Theory 2022. 6. 4. 22:10
경매 입찰(bid)을 통해서 물건을 사고파는 절차를 말한다. - 경매인(auctioneer)은 자신의 물건을 경매에 부쳐 높은 가격에 팔고자 한다. - 입찰자(bidder): 입찰(자신이 사고자하는 가격을 제시)를 통하여 물건을 사고자 한다. * 역경매 경매는 경매인이 물건을 제시하면 물건을 살 사람들이 가격을 제시하는 것과 달리 역경매는 경매인이 원하는 물건을 제시하면 물건을 팔 사람들이 가격을 제시한다. 공공사업이나 물품조달시 사용하는 방식으로 예를 들어 학교에서 노트북 100대를 사려고 하면 여러 업체들이 자신이 얼마까지 팔 수 있는지 가격을 제시하는 상황이다. 경매의 방식 경매 중 입찰금액의 공개 여부에 따라 경매방식이 나뉜다. 공개경매 경매를 하는 중에 입찰자들의 가격이 공개되는 형태의 경매이다..