Math♾️/Linear Algebra
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행렬 곱은 함수의 합성이다.Math♾️/Linear Algebra 2025. 4. 2. 10:45
선형 변환 : 행렬은 함수다.선형 변환이란 무엇인가? 먼저 '변환(transformation)'라는 용어부터 이해해볼까요? 변환은 사실 함수(function)의 또 다른 표현일 뿐입니다. 함수는 입력 값과 출력 값간의 관계를 정의합니다. 따라서people-analysis.tistory.com선형 변환의 기본 개념 복습지난 글에서 선형 변환은 "벡터를 입력으로 받아 벡터를 출력으로 내놓은 함수 일종의 함수"라고 했습니다. 또한 '선형' 변환은 다음과 같은 특성을 가진 공간의 '변형'으로도 생각할 수 있습니다. 격자선(그리드 라인)이 평행을 유지합니다.격자선 사이의 간격이 균일하게 유지됩니다.원점(0,0)은 항상 고정된 상태로 유지됩니다.이러한 특성은 선형 변환이 공간 전체를 일관된 방식으로 변형시킨다는 것..
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선형 변환 : 행렬은 함수다.Math♾️/Linear Algebra 2025. 3. 22. 22:50
선형 변환이란 무엇인가? 먼저 '변환(transformation)'라는 용어부터 이해해볼까요? 변환은 사실 함수(function)의 또 다른 표현일 뿐입니다. 함수는 입력 값과 출력 값간의 관계를 정의합니다. 따라서 임의의 입력 값이 주어졌을 때 정의된 관계에 따라 출력값이 결정됩니다. 선형 대수학에서는 특히 주어진 입력 값과 출력값이 '벡터'인 경우를 주로 다룹니다. 그렇다면 왜 함수 대신 변환이라는 용어를 사용하였을까요? 이는 입력 벡터와 출력 벡터간의 관계를 시각적으로 '움직임'으로써 이해하도록 유도하기 위함입니다. 즉, 입력 벡터가 출력 벡터로 '이동'한다고 생각하는 것이죠. 선형 변환의 조건 변환이 '선형'이 되기 위해서는 다음 조건을 만족해야합니다. 첫번째로, 모든 직선은 직선으로 유지되어야..
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Span : 영역 전개 (領域展開)Math♾️/Linear Algebra 2025. 3. 16. 19:49
Span : 기저 벡터들의 선형 결합으로 영역(공간) 전개하기 벡터 좌표를 스칼라로 이해하기벡터를 숫자 쌍(또는 더 많은 차원에서는 숫자 집합)으로 표현하는 것에 익숙할 것입니다. 예를 들어, 2차원 벡터 (3, -2)는 x축으로 3단위, y축으로 -2단위 이동한 위치를 가리킵니다. 하지만 이 좌표들을 단순히 위치 정보로만 생각하는 것이 아니라, 스칼라(scalar)로 생각해보는 새로운 관점이 있습니다.스칼라란 무엇일까요? 스칼라는 벡터를 늘리거나 줄이는 역할을 하는 단순한 숫자입니다. 이러한 관점에서, 벡터 좌표는 특별한 벡터들을 스칼라 배수만큼 늘리거나 줄인 다음 더한 결과로 볼 수 있습니다.2차원 좌표계에서는 두 개의 특별한 벡터가 있습니다.i-hat(î): x축 방향으로 길이가 1인 단위벡터j-h..
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내 말로 풀어보는 선형 대수Math♾️/Linear Algebra 2023. 3. 31. 15:27
왜 선형인가? 수많은 것들과 함께 살아가면서 이것들은 서로 상호작용을 한다. 그리고 이러한 상호작용으로 인해 어떠한 현상이 발생한다. 따라서 이 현상이 왜 발생했는지 원인을 알기 위해서는 이 요소들 간의 상호작용의 형태 다시 말해서 관계를 파악해야 한다. 관계를 파악하게 되면은 이 현상을 좀 더 단순하게 표현할 수 있기 때문이다. 예를 들어 물체가 움직이는 것을 보았다고 해보자 그러면 근데 어떤 것은 느리고 어떤 것은 빠르다. 그러면 이러한 현상의 원인을 분석하기 위해서는 시간과 거리리라는 요소들의 관계를 고려해 본다. 같은 시간 동안 더 많이 가면은 빠르고 같은 시간 동안 덜 가면 느리구나 현상의 원인을 관계를 통해서 설명할 수 있게 되면은 이 현상을 개념화할 수 있게 된다. 정해진 시간동안 움직이는 ..
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2차원 선형 변환 시각화Math♾️/Linear Algebra 2023. 3. 16. 14:55
선형 변환이란 선형 시스템에 임의의 벡터 또는 벡터들의 묶음으로서의 행렬이 입력으로 주어졌을 때의 출력을 얻는 과정이다. 어떠한 선형 시스템이 다음과 같이 주어졌다고 하자. $$A=\begin{pmatrix}2&-1\\ 1&1\end{pmatrix}$$ 이 시스템에 임의의 벡터 $\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$가 입력으로 들어가면 시스템에 의한 선형변환된 결과가 시스템의 열벡터의 결합으로 나타나게 된다. $$\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1 \\ 1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+y\begin{pma..
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선형 시스템 파이썬으로 표현하기Math♾️/Linear Algebra 2023. 3. 13. 14:09
아래와 같은 2차 선형시스템을 생각해 보자 $$A\vec{v} = \vec{b}$$ ## numpy와 matplot library import (필요한 라이브러리 import) import numpy as np import matplotlib as mpl import matplotlib.pyplot as plt ## 그래프 polt시 사용할 색 지정 mpl.rcParams['axes.prop_cycle'] = mpl.cycler(color=["#377eb8","#ff7f00", "#4daf4a", "#e41a1c", "#984ea3", "#a65628"]) $$\begin{pmatrix} 2&-1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \..
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행렬 곱 의미 생각하기Math♾️/Linear Algebra 2022. 4. 29. 19:12
행렬곱의 의미 행렬곱은 선형변환으로서 벡터로 구성된(여러가지 정보를 가지고 있는) 여러 객체들을 INPUT받아, 각 객체들의 정보의 형태를 바꾸는 것 변환될 객체들(INPUT)이 가지고 있는 정보들이 바뀔 정보의 형태로 선형합을 통해 나타날 수 있다면 (현재정보와 바뀔정보 사이의 관계를 선형합을 통해 정의된다면) 위의 관계를 이용해 객체들이 가지고 있는 정보를 새로운 형태로 정의할 수 있다. 즉 곱해지는 행렬은 기존의 INPUT 행렬이 가지고 있던 각 객체들의 정보와 새롭게 바뀔 정보사이의 관계를 나타내는 함수이다. - INPUT 행렬 객체 짱구,철수의 정보인 나이와 키를 나타내는 행렬이다. - 변환 행렬 나이와 키와 몸무게,손크기,발크기 사이의 관계를 나타내는 행렬이다. 즉 나이와 키의 선형결합으로 몸..
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행렬의 의미 생각하기Math♾️/Linear Algebra 2022. 4. 29. 15:10
$M\times N$ 행렬의 의미 $M\times N$ 행렬이 주어졌을 때, 이를 여러정보를 가지고 있는 객체들을 한 공간상에 나타낸것으로 볼 수 있다. - 이때 $M$은 서로 구분되는(독립인) 정보 종류의 개수를 나타낸다. (공간상에서는 차원으로 표현된다.) - $N$은 $M$개의 구분되는 정보를 갖고 있는 객체들의 개수를 나타낸다. (공간상에 점으로 나타난다.) 나이,키,몸무게로 3명의 사람을 공간상에서 표현한다고 하자. 나이,키,몸무게는 서로 구분되는 특징이기때문에 각각 하나의 독립된 축을 이룰수 있다. 따라서 3차원 공간으로 표현된다. 이 공간상에서 각 사람들은 나이,키,몸무게라는 3가지의 정보를 가진 객체로 표현된다. 위와 같이 세 사람의 키,몸무게,나이에 대한 정보는 구분되어 3차원 공간상에 ..