Math♾️/Probability Statistics🎲
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곱셈 법칙과 전체 확률의 법칙Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 15. 21:02
곱셈 법칙 (Multiplication Law )조건부 확률은 P(A|B)를 다음과 같이 정의 됩니다. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)위의 식에서 P(B)를 양변에 곱하면 다음과 같은 중요한 결과를 얻을 수 있습니다. P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B)이것이 바로 곱셈 법칙(Multiplication Law)입니다. 매우 간단해 보이지만, 확률 문제에서 굉장히 자주 사용되는 중요한 법칙입니다.이 법칙의 직관적인 의미는 무엇일까요? "A와 B가 모두 일어날 확률"은 "B가 일어날 확률"과 "B가 일어났을 때 A가 일어날 확률"의 곱으로 표현할 수 있다는 것입니다. 다시 말해, 두 사건이 모두 일어나려면먼저 B가 일어나야 하고 (확률 P(B))그 다음으로 A도 일어나야 합니다 (조건부..
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조건부 확률 : 새롭게 주어진 정보를 활용하자Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 14. 22:58
새로운 정보를 통해 불확실의 크기를 줄이는 방법조건부 확률이란 무엇인가?조건부 확률은 "어떤 사건이 '이미' 일어났다는 정보가 주어졌을 때, 다른 사건의 확률이 어떻게 바뀌는가?"를 다룹니다.예를 들어, 카드를 한 장 뽑을 때 스페이드가 나올 확률은 1/4입니다. 그런데 만약 누군가 "그 카드는 검은색이에요"라는 정보를 알려준다면 어떨까요? 검은색 카드는 클럽이나 스페이드 중 하나여야 하므로, 이제 스페이드가 나올 확률은 1/2로 높아집니다. 이렇게 추가 정보에 기반해 확률을 업데이트하는 개념이 바로 조건부 확률입니다.수학적 정의와 직관적 이해조건부 확률은 다음과 같이 표기합니다:P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)여기서 `|`는 given ( 주어진 상황)을 의미합니다. 따라서 P(A|B)는 ..
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이항 계수 : 뽑을까 말까? / 다항 계수 : 어디에 줄까?Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 12. 23:15
확률은 가능성에 0~1 사이의 숫자를 부여하는 방법으로가장 기본적인 접근은 '우리가 관심 있는 사건이 일어날 수 있는 경우의 수'를 '가능한 전체 경우의 수'로 나누는 것입니다. 예를 들어, 포커 게임에서 스트레이트 플러시나 풀 하우스와 같은 특정 패가 나올 확률을 계산하려면, 전체 가능한 패 중에서 그런 특정 패가 몇 개나 존재하는지 계산해야 합니다. 하지만 52개나 되는 카드들을 가지고 5개를 뽑았을 때 가능한 조합이 몇 개인지 일일이 세는 것은 쉽지 않습니다. 이렇게 상황이 조금만 복잡해져도 경우의 수를 세는 것이 복잡해지기 때문에 이를 좀 더 쉽게 셀 수 있는 도구가 필요합니다. 이항 계수 : 순서 구분 없는 샘플링이항계수는 n개의 객체에서 r개를 선택하는 방법의 수를 계산할 때 사용합니다. 특..
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생일 문제 : 더 계산이 쉬운 방법을 찾기Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 10. 22:30
생일 문제방에 n명의 사람이 있을 때, 적어도 두 사람(한 쌍)이 같은 생일을 가질 확률이 50% 이상이 되려면 n은 얼마나 커야 할까요?많은 사람들이 직관적으로 "365의 절반인 약 182명 정도는 있어야하지 않을까 생각합니다." 그러나 실제 답은 이것보다 훨씬 작습니다. 왜 그럴까요? 우선 n명의 사람들 사이에 가능한 모든 비교 횟수를 계산해 봅시다. 각 사람이 다른 모든 사람과 생일을 비교한다면:첫 번째 사람은 n-1명과 비교 ( 자신을 제외한 나머지 사람)두 번째 사람은 n-2명과 비교 (첫 번째 사람과 자신을 제외한 나머지 사람)세 번째 사람은 n-3명과 비교 (첫 번째, 두번째 사람과 자신을 제외한 나머지 사람) ...이 합계는 가우스의 공식을 사용하면 n(n-1)/2가 됩니다. 예를 들어,..
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가능성에 어떻게 숫자를 부여할까?Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 9. 14:05
우리는 일상에서 "비가 올 가능성이 80%다", "이 치료법이 효과가 있을 가능성은 60%다"처럼 확률적 표현을 자주 사용합니다. 이런 표현들은 불확실한 사건에 정확한 숫자값을 부여함으로써 의사결정에 도움을 줍니다. 그런데 이러한 숫자는 어떤 원칙에 따라 부여되는 걸까요?표본 공간: 가능한 모든 결과들의 집합확률을 논하기 위해 가장 먼저 필요한 개념은 표본 공간(Sample Space)입니다.이는 쉽게 말해 '일어날 수 있는 모든 결과들의 모음'입니다. 예를 들어, 동전을 한 번 던지는 실험에서 표본 공간은 {앞면, 뒷면}이고, 주사위를 한 번 던지는 실험에서 표본 공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다. 동전을 세 번 던지는 실험에서는 표본 공간이 {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, ..
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순열, 조합 : 똑똑하게 세는 방법Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 8. 23:09
확률 계산의 본질: 경우의 수를 세다. 기본적으로 확률은 '특정 사건이 발생할 수 있는 방법의 수'를 '가능한 모든 경우의 수'로 나누어 계산합니다.그러나 문제가 복잡해질수록(예: 10번의 동전 던지기, 포커 패 등) 모든 경우를 일일이 나열하기 어려워집니다.이때 조합론은 가능한 모든 경우의 수를 효율적으로 세는 방법을 제공합니다.몇 가지 기본적인 계산 공식만 알아도 포커, 주사위 게임, 백개먼 등 다양한 게임의 확률을 쉽게 계산할 수 있습니다.동전 던지기첫 번째 예제로, 동전을 10번 던질 때 가능한 모든 고유한 순서의 수를 계산해 봅시다.여기서 중요한 개념은 순서가 중요하다(order matters)는 것입니다.즉, '앞면-뒷면'과 '뒷면-앞면'은 서로 다른 결과로 간주됩니다.각 동전 던지기에는 2..
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랜덤은 무지의 결과다.Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 2. 17:27
확률이란 무엇인가?가장 기본적인 정의로, 확률은 특정 사건이 발생할 가능성을 계산하는 방법입니다. 수학적으로 표현하면확률(A) = 사건 A가 발생할 수 있는 방법의 수 / 발생 가능한 전체 경우의 수이 간단한 공식이 확률 이론의 기초가 됩니다.동전 던지기 예제가장 간단한 예제로 동전 던지기를 살펴봅시다. 공정한 동전을 두 번 던진다고 가정해 봅시다.이 경우 가능한 모든 결과의 집합(Ω)은앞면, 앞면 (H, H)앞면, 뒷면 (H, T)뒷면, 앞면 (T, H)뒷면, 뒷면 (T, T)총 4가지 경우가 가능합니다.문제 1: 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은?사건 A를 "적어도 하나의 동전이 앞면"이라고 정의하면이 사건이 발생하는 경우: (H,H), (H,T), (T,H)발생 가능한 방법의 수: 3전체 경우의 수..
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확률과 통계 : 불확실성 모델링 방법Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 2. 11. 15:24
내일 비가 올까요? 다음 주 주식 시장은 어떻게 될까요? 새로 만난 사람이 좋은 친구가 될까요? 이런 질문들에 대해 우리는 정확한 답을 할 수 없습니다. 이것이 바로 '불확실성'입니다.불확실성의 원인 측정의 한계동전 던지기를 예로 들어보겠습니다. 이론적으로는 동전의 초기 위치, 던지는 힘, 공기 저항, 중력 등 모든 물리적 요소를 정확히 알면 결과를 예측할 수 있을 것입니다. 하지만 현실에서는 이 모든 요소를 완벽하게 측정하고 통제하는 것이 불가능합니다. 이러한 측정의 한계가 불확실성을 만듭니다.시스템의 복잡성날씨를 예측하는 경우를 생각해봅시다. 지구의 모든 공기 분자의 움직임, 해류의 흐름, 태양 복사량 등 셀 수 없이 많은 요소들이 서로 영향을 주고받습니다. 이렇게 복잡한 시스템에서는 작은 초기 조건..