가능성에 어떻게 숫자를 부여할까?

우리는 일상에서 "비가 올 가능성이 80%다", "이 치료법이 효과가 있을 가능성은 60%다"처럼 확률적 표현을 자주 사용합니다. 이런 표현들은 불확실한 사건에 정확한 숫자값을 부여함으로써 의사결정에 도움을 줍니다. 그런데 이러한 숫자는 어떤 원칙에 따라 부여되는 걸까요?

표본 공간: 가능한 모든 결과들의 집합

확률을 논하기 위해 가장 먼저 필요한 개념은 표본 공간(Sample Space)입니다.

이는 쉽게 말해 '일어날 수 있는 모든 결과들의 모음'입니다.

 

예를 들어, 동전을 한 번 던지는 실험에서 표본 공간은 {앞면, 뒷면}이고, 주사위를 한 번 던지는 실험에서 표본 공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다. 동전을 세 번 던지는 실험에서는 표본 공간이 {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}와 같이 8가지 가능한 결과들로 구성됩니다.

 

수학적으로 이 표본 공간을 Ω(오메가)로 표기하는데, 이것이 우리가 확률을 계산할 때 기준이 되는 '전체 집합'입니다.

사건: 관심 있는 결과들의 부분집합

사건(Event)은 표본 공간의 부분집합으로, 우리가 관심을 갖는 특정 결과들의 모음입니다.

예를 들어, 주사위를 던져서 짝수가 나오는 사건 A는 A = {2, 4, 6}으로 표현할 수 있습니다. 동전 세 개를 던지는 실험에서 "첫 번째 동전이 앞면"인 사건은 {HHH, HHT, HTH, HTT}입니다.

확률: 가능성에 숫자 부여하기

확률은 본질적으로 각 사건에 0과 1 사이의 숫자를 할당하는 방식입니다. 이 숫자는 해당 사건이 일어날 가능성의 크기를 나타냅니다.

수학자들이 "확률 측도"라고 부르는 것은 사실 이 "가능성 할당 규칙"을 의미합니다.

 

가장 간단한 경우에는 모든 결과가 동등하게 일어날 수 있다고 가정합니다. 이때 사건 A의 확률은 다음과 같이 계산합니다

P(A) = (A에 포함된 결과의 개수) ÷ (전체 가능한 결과의 개수)

예를 들어, 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률은: P(짝수) = |{2, 4, 6}| ÷ |{1, 2, 3, 4, 5, 6}| = 3/6 = 1/2

공정한 경우와 편향된 경우 비교

공정한 경우: 균등한 가능성 배분

공정한 동전이나 주사위처럼 모든 결과가 일어날 가능성이 동일한 경우, 우리는 단순히 '가능한 결과의 수'를 세는 방식으로 확률을 계산할 수 있습니다. 이런 상황에서는 각 결과에 동일한 '가능성의 크기'가 할당됩니다.

예를 들어, 공정한 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 1/2입니다. 이는 가능한 두 결과(앞면, 뒷면)에 동일한 가능성 크기(각각 0.5)를 부여했기 때문입니다.

편향된 경우: 불균등한 가능성 배분

하지만 실생활에서는 모든 결과가 동일한 가능성을 가지지 않는 경우가 많습니다. 예를 들어, 한쪽으로 기울어진 동전은 앞면이 나올 확률이 뒷면보다 높을 수 있습니다.

만약 어떤 동전이 앞면이 나올 확률이 70%, 뒷면이 나올 확률이 30%라면, 이는 두 결과에 서로 다른 '가능성의 크기'를 할당한 것입니다. 이런 경우, 단순히 결과의 개수를 세는 방법으로는 정확한 확률을 계산할 수 없습니다.

이런 상황에서 필요한 것이 바로 각 결과에 적절한 '가능성 가중치'를 부여하는 것입니다. 공정하지 않은 상황에서도 확률을 정확히 계산할 수 있게 해주는 이 접근법이 수학적으로는 "확률 측도"로 형식화됩니다.

편향된 동전 세 번 던지기의 예

편향된 동전(앞면 확률 0.7, 뒷면 확률 0.3)을 세 번 던진다고 생각해봅시다. "첫 번째 동전이 앞면"인 사건 A의 확률을 계산해봅시다.

단순히 결과의 개수로 세면

• 표본 공간 Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
• 사건 A = {HHH, HHT, HTH, HTT}
• P(A) = 4/8 = 0.5

하지만 이는 정확하지 않습니다. 각 결과에 적절한 가능성 가중치를 부여하면

• P({HHH}) = 0.7 × 0.7 × 0.7 = 0.343
• P({HHT}) = 0.7 × 0.7 × 0.3 = 0.147
• P({HTH}) = 0.7 × 0.3 × 0.7 = 0.147
• P({HTT}) = 0.7 × 0.3 × 0.3 = 0.063
• P({THH}) = 0.3 × 0.7 × 0.7 = 0.147
• P({THT}) = 0.3 × 0.7 × 0.3 = 0.063
• P({TTH}) = 0.3 × 0.3 × 0.7 = 0.063
• P({TTT}) = 0.3 × 0.3 × 0.3 = 0.027

따라서 사건 A의 정확한 확률은: P(A) = 0.343 + 0.147 + 0.147 + 0.063 = 0.7

이처럼 각 결과에 적절한 가능성의 크기를 부여함으로써, 편향된 상황에서도 정확한 확률을 계산할 수 있습니다.

확률의 기본 원칙

확률은 다음 세 가지 기본 원칙을 따릅니다

1. 전체 가능성은 1: 가능한 모든 결과를 포함하는 표본 공간의 확률은 1입니다. 즉, 무언가는 반드시 일어납니다.
2. 음수 가능성 없음: 모든 사건의 확률은 0 이상입니다. 가능성은 최소한 0(불가능)이지, 음수가 될 수 없습니다.
3. 서로 배타적인 사건들: 두 사건이 동시에 일어날 수 없다면(즉, 공통 결과가 없다면), 이들의 합쳐진 확률은 각각의 확률을 더한 값과 같습니다.

확률의 유용한 성질들

위의 기본 원칙으로부터 다음과 같은 유용한 성질들을 얻을 수 있습니다

1. 반대 사건의 확률: 어떤 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1에서 A가 일어날 확률을 뺀 값입니다. P(A가 일어나지 않음) = 1 - P(A)
2. 불가능한 사건: 아무런 결과도 포함하지 않는 사건(공집합)의 확률은 0입니다.
3. 포함 관계: 만약 사건 A가 사건 B에 완전히 포함된다면, A의 확률은 B의 확률보다 작거나 같습니다.
4. 합집합의 확률: 두 사건 A, B의 합집합(A 또는 B가 일어나는 경우)의 확률은 P(A 또는 B) = P(A) + P(B) - P(A 그리고 B)입니다. 이는 두 사건이 겹치는 부분을 중복 계산하지 않기 위함입니다.

멱집합: 가능한 모든 사건들의 집합

확률을 계산할 때, 우리는 표본 공간의 모든 가능한 부분집합에 확률값을 할당해야 합니다. 표본 공간 Ω의 모든 부분집합을 모아놓은 집합을 멱집합이라 하며, 2^Ω로 표기합니다.

예를 들어, 동전 한 번 던지기에서 Ω = {H, T}이고, 멱집합은 {∅, {H}, {T}, {H, T}}입니다. 여기서 ∅는 공집합으로, "아무 것도 일어나지 않는" 사건을 나타냅니다.

확률은 이 멱집합의 각 원소(즉, 가능한 모든 사건)에 0과 1 사이의 숫자를 배정하는 함수입니다. 이 배정은 앞서 언급한 세 가지 기본 원칙을 만족해야 합니다.

 

 

확률론의 핵심은 불확실한 사건들에 체계적으로 숫자를 부여하는 방법을 제공하는 것입니다. 확률은 단순히 결과의 개수를 세는 것을 넘어, 각 결과에 적절한 '가능성의 크기'를 할당함으로써 더 복잡한 상황도 정확히 모델링할 수 있게 해줍니다.