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Math♾️/Numerical Analysis

• 수치적분

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 6. 3. 11:17

  수치적분이 필요한 이유? 일반적으로 적분을 수행할 때는 위와 같이 피적분함수가 주어져 해석적으로 적분이 가능하다. 하지만 아래와 같이 현실에서 실험이나 관측을 통하면 이산적인 성격을 갖는 데이터를 얻게 된다. 이를 적분하기 위해서는 수치적 방법이 필요하다. Rectangle method 적분 대상이 되는 함수의 영역을 직사각형에 근사시켜 적분값을 구하는 방법이다. 위와 같이 원래의 피적분함수의 적분값과 상당한 오차를 가지는 것을 알 수 있다. 이것을 최소화 하기 위해서는 어떻게 해야할까? Composite rectangle method 전구간에 대하여 $x=a$ 의 함수값 $f(a)$ 또는 $x=b$의 함수값 $f(b)$를 이용하게 되면 사용한 $x$값과 멀어지면 높이로 사용하는 함수값 $f(x)$의 오..

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• 유한차분법

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 5. 24. 16:18

  수치해석적 미분이 필요한 이유? 실험을 통한 측정이나 관측을 이용하여 얻은 데이터들은 이산적이기 때문에 해석적으로 미분이 불가한 경우가 많다. 따라서 수치적 해석을 함으로서 데이터의 독립변수 대비 종속변수의 변화 경향성을 알 수 있다. 수치해석적 미분 접근방법 1. 인접한 점들을 선으로 연결함으로서 기울기를 구하는 방법(유한차분법) 2. Curve-fitting을 이용하여 데이터에 들어맞는 함수식을 찾은 뒤 해석적으로 미분하는 방법 수치해석적 미분시 고려해야 할 점 전체적으로 봤을 때는 $x$가 증가함에 따라서 $y$가 증가하는 모습을 확인할 수 있다. 하지만 인접한 두점을 이을 경우 계속해서 기울기가 양의 값과 음의 값으로 변동이 심한 것을 볼 수 있다. 위처럼 실험이나 관측을 통해 얻은 데이터들은 측..

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• Solving Nonlinear Equations 05 - Newton's Method for Solving a System of Nonlinear Equations

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 15:46

  방정식의 해→ 해당 방정식을 그래프로 그렸을 때 해는 그래프상에 위치한다. 시스템의 해→ 시스템을 구성하는 방정식들을 그래프로 그렸을 때, 해는 모든 그래프상에 위치한다. 즉 해당 방정식들의 그래프들이 교차하는 지점이 해당 시스템의 해이다. - 비선형 시스템에서 해 찾기 2개의 미지수를 갖는 2개의 비선형 방정식 시스템은 다음과 같이 표현된다. $$f_1(x,y)=0\\f_2(x,y)=0$$ 만약 $x_2,y_2$가 위의 시스템의 해이고 임의로 추정한 $x_1,y_1$이 해에 충분히 가까이 있다고 생각해보자. 위의 조건이 만족한다면 찾고 있는 시스템의 해 $x_2,y_2$에서의 함수 값 $f_1(x_2,y_2),f_2(x_2,y_2)$를 Taylor series expansion을 통해 임의로 추정한..

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• Solving Nonlinear Equation 04-Muller's Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 12:38

  Muller's Method는 $f(x)=0$형태의 방정식의 수치해를 찾는 방법이다. Muller’s Method와 Secant Method는 $f(x)$상의 점을 연결하므로서 생기는 선이 $x$축과 만나는 점을 갱신된 수치해로 하여 이를 반복적으로 수행하는 과정을 거친다는 점에서는 유사하다. 둘의 차이는 이용하는 $f(x)$상의 점의 개수에 있다. Secant Method는 $f(x)$상의 점 두개를 이용하여 얻은 일차함수를 이용했다. Muller’s Method는 $f(x)$상의 점 세개를 이용하여 얻은 이차함수를 이용한다. Muller’s Method에서 사용하는 2차 다항식의 형태는 다음과 같다. $$P(x)=a(x-x_3)^2+b(x-x_3)+c$$ 위의 2차함수는 함수 $f(x)$위의 세점..

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• Solving Nonlinear Equations 03 - Fixed-Point Iteration Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 20:00

  Fixed-point iteration 방법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식의 수치해를 구할 때 사용하는 방법이다. $x=g(x)$형태의 방정식을 $f(x)=0$형태로 바꾸어 해를 구한다. $$x=g(x)\Rightarrow f(x)=g(x)-x=0\,\,$$ $y=x$와 $y=g(x)$의 교차점을 Fixed-Point라고 한다. Fixed-Point Iteration Method 알고리즘 1. 해석해가 존재한다고 추정되는 근처에 $x$축상에 임의로 $x_1$값을 정한다. 2. $x_1$에서 수직으로 올라가서 $g(x)$와 만나는 지점 $g(x_1)$값을 찾는다. 3. $g(x_1)$값에서 수평으로 따라가서 $y=x$와 만나는 점을 찾아 그 점에서 수직으로 내려간다. 이때의 값을 $x_2$로 한다. ..

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• Solving Nonlinear Equations 02- Newton Raphson Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 16:03

  - 뉴턴법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식에 대해서 수치해를 찾는 방법이다. - 뉴턴법을 사용하기 위해서는 함수 $f(x)$가 연속이며 미분가능해야한다 함수의 정의역내에서 임의의 $x_1$을 수치해로 설정한다. $x_1$에 대하여 함수 $f(x)$를 미분하여 tangent line(일차함수)를 구한다. tangent line이 $x$축과 만나는 지점을 다음 수치해 $x_2$로 설정한다. 2~3과정을 충분한 수치해를 얻을 때까지 반복하여 수행한다. - 위 과정을 수식으로 나타내면 다음과 같다. 첫번째 수치해 $x_1$에 대해 $f(x)$를 미분하여 기울기를 얻은 후 이를 tangent line(일차함수)로 나타내면 $$y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)$$ 두번째 수치해 $x_2$는 위에서 구한..

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• Solving Nonlinear Equations 01-Bisection Method, Regula Falsi method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 13. 16:22

  Bisection Method Bisection method는 $f(x)=0$ 형태의 방정식에서 수치해를 구하는 방법이다. 구하려는 해의 함수값은 0이므로 $x$축 선상에 있을것이다. 해가 있을 것으로 추정되는 범위 $[a,b]$를 설정한다. 이때, 함수 $f(x)$는 해당구간에서 연속이어야한다. (구간내에서 함수값이 정의 되지 않는다면 수치해를 구할 수 없다.) 핵심: 함수가 구간 $[a,b]$에서 x축과 만난다는 것은 해의 왼쪽과 오른쪽의 함수값의 부호가 다르다.→ 이점을 이용해 수치해에 접근한다. Bisection Method 알고리즘 해가 존재할것이라고 생각되는 구간 $[a,b]$를 설정한다. 만약 구간 내의 해가 존재한다면 $f(a)f(b)

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