Math♾️
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행렬 곱은 함수의 합성이다.Math♾️/Linear Algebra 2025. 4. 2. 10:45
선형 변환 : 행렬은 함수다.선형 변환이란 무엇인가? 먼저 '변환(transformation)'라는 용어부터 이해해볼까요? 변환은 사실 함수(function)의 또 다른 표현일 뿐입니다. 함수는 입력 값과 출력 값간의 관계를 정의합니다. 따라서people-analysis.tistory.com선형 변환의 기본 개념 복습지난 글에서 선형 변환은 "벡터를 입력으로 받아 벡터를 출력으로 내놓은 함수 일종의 함수"라고 했습니다. 또한 '선형' 변환은 다음과 같은 특성을 가진 공간의 '변형'으로도 생각할 수 있습니다. 격자선(그리드 라인)이 평행을 유지합니다.격자선 사이의 간격이 균일하게 유지됩니다.원점(0,0)은 항상 고정된 상태로 유지됩니다.이러한 특성은 선형 변환이 공간 전체를 일관된 방식으로 변형시킨다는 것..
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선형 변환 : 행렬은 함수다.Math♾️/Linear Algebra 2025. 3. 22. 22:50
선형 변환이란 무엇인가? 먼저 '변환(transformation)'라는 용어부터 이해해볼까요? 변환은 사실 함수(function)의 또 다른 표현일 뿐입니다. 함수는 입력 값과 출력 값간의 관계를 정의합니다. 따라서 임의의 입력 값이 주어졌을 때 정의된 관계에 따라 출력값이 결정됩니다. 선형 대수학에서는 특히 주어진 입력 값과 출력값이 '벡터'인 경우를 주로 다룹니다. 그렇다면 왜 함수 대신 변환이라는 용어를 사용하였을까요? 이는 입력 벡터와 출력 벡터간의 관계를 시각적으로 '움직임'으로써 이해하도록 유도하기 위함입니다. 즉, 입력 벡터가 출력 벡터로 '이동'한다고 생각하는 것이죠. 선형 변환의 조건 변환이 '선형'이 되기 위해서는 다음 조건을 만족해야합니다. 첫번째로, 모든 직선은 직선으로 유지되어야..
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Span : 영역 전개 (領域展開)Math♾️/Linear Algebra 2025. 3. 16. 19:49
Span : 기저 벡터들의 선형 결합으로 영역(공간) 전개하기 벡터 좌표를 스칼라로 이해하기벡터를 숫자 쌍(또는 더 많은 차원에서는 숫자 집합)으로 표현하는 것에 익숙할 것입니다. 예를 들어, 2차원 벡터 (3, -2)는 x축으로 3단위, y축으로 -2단위 이동한 위치를 가리킵니다. 하지만 이 좌표들을 단순히 위치 정보로만 생각하는 것이 아니라, 스칼라(scalar)로 생각해보는 새로운 관점이 있습니다.스칼라란 무엇일까요? 스칼라는 벡터를 늘리거나 줄이는 역할을 하는 단순한 숫자입니다. 이러한 관점에서, 벡터 좌표는 특별한 벡터들을 스칼라 배수만큼 늘리거나 줄인 다음 더한 결과로 볼 수 있습니다.2차원 좌표계에서는 두 개의 특별한 벡터가 있습니다.i-hat(î): x축 방향으로 길이가 1인 단위벡터j-h..
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곱셈 법칙과 전체 확률의 법칙Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 15. 21:02
곱셈 법칙 (Multiplication Law )조건부 확률은 P(A|B)를 다음과 같이 정의 됩니다. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)위의 식에서 P(B)를 양변에 곱하면 다음과 같은 중요한 결과를 얻을 수 있습니다. P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B)이것이 바로 곱셈 법칙(Multiplication Law)입니다. 매우 간단해 보이지만, 확률 문제에서 굉장히 자주 사용되는 중요한 법칙입니다.이 법칙의 직관적인 의미는 무엇일까요? "A와 B가 모두 일어날 확률"은 "B가 일어날 확률"과 "B가 일어났을 때 A가 일어날 확률"의 곱으로 표현할 수 있다는 것입니다. 다시 말해, 두 사건이 모두 일어나려면먼저 B가 일어나야 하고 (확률 P(B))그 다음으로 A도 일어나야 합니다 (조건부..
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조건부 확률 : 새롭게 주어진 정보를 활용하자Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 14. 22:58
새로운 정보를 통해 불확실의 크기를 줄이는 방법조건부 확률이란 무엇인가?조건부 확률은 "어떤 사건이 '이미' 일어났다는 정보가 주어졌을 때, 다른 사건의 확률이 어떻게 바뀌는가?"를 다룹니다.예를 들어, 카드를 한 장 뽑을 때 스페이드가 나올 확률은 1/4입니다. 그런데 만약 누군가 "그 카드는 검은색이에요"라는 정보를 알려준다면 어떨까요? 검은색 카드는 클럽이나 스페이드 중 하나여야 하므로, 이제 스페이드가 나올 확률은 1/2로 높아집니다. 이렇게 추가 정보에 기반해 확률을 업데이트하는 개념이 바로 조건부 확률입니다.수학적 정의와 직관적 이해조건부 확률은 다음과 같이 표기합니다:P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)여기서 `|`는 given ( 주어진 상황)을 의미합니다. 따라서 P(A|B)는 ..
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이항 계수 : 뽑을까 말까? / 다항 계수 : 어디에 줄까?Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 12. 23:15
확률은 가능성에 0~1 사이의 숫자를 부여하는 방법으로가장 기본적인 접근은 '우리가 관심 있는 사건이 일어날 수 있는 경우의 수'를 '가능한 전체 경우의 수'로 나누는 것입니다. 예를 들어, 포커 게임에서 스트레이트 플러시나 풀 하우스와 같은 특정 패가 나올 확률을 계산하려면, 전체 가능한 패 중에서 그런 특정 패가 몇 개나 존재하는지 계산해야 합니다. 하지만 52개나 되는 카드들을 가지고 5개를 뽑았을 때 가능한 조합이 몇 개인지 일일이 세는 것은 쉽지 않습니다. 이렇게 상황이 조금만 복잡해져도 경우의 수를 세는 것이 복잡해지기 때문에 이를 좀 더 쉽게 셀 수 있는 도구가 필요합니다. 이항 계수 : 순서 구분 없는 샘플링이항계수는 n개의 객체에서 r개를 선택하는 방법의 수를 계산할 때 사용합니다. 특..
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생일 문제 : 더 계산이 쉬운 방법을 찾기Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 10. 22:30
생일 문제방에 n명의 사람이 있을 때, 적어도 두 사람(한 쌍)이 같은 생일을 가질 확률이 50% 이상이 되려면 n은 얼마나 커야 할까요?많은 사람들이 직관적으로 "365의 절반인 약 182명 정도는 있어야하지 않을까 생각합니다." 그러나 실제 답은 이것보다 훨씬 작습니다. 왜 그럴까요? 우선 n명의 사람들 사이에 가능한 모든 비교 횟수를 계산해 봅시다. 각 사람이 다른 모든 사람과 생일을 비교한다면:첫 번째 사람은 n-1명과 비교 ( 자신을 제외한 나머지 사람)두 번째 사람은 n-2명과 비교 (첫 번째 사람과 자신을 제외한 나머지 사람)세 번째 사람은 n-3명과 비교 (첫 번째, 두번째 사람과 자신을 제외한 나머지 사람) ...이 합계는 가우스의 공식을 사용하면 n(n-1)/2가 됩니다. 예를 들어,..
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가능성에 어떻게 숫자를 부여할까?Math♾️/Probability Statistics🎲 2025. 3. 9. 14:05
우리는 일상에서 "비가 올 가능성이 80%다", "이 치료법이 효과가 있을 가능성은 60%다"처럼 확률적 표현을 자주 사용합니다. 이런 표현들은 불확실한 사건에 정확한 숫자값을 부여함으로써 의사결정에 도움을 줍니다. 그런데 이러한 숫자는 어떤 원칙에 따라 부여되는 걸까요?표본 공간: 가능한 모든 결과들의 집합확률을 논하기 위해 가장 먼저 필요한 개념은 표본 공간(Sample Space)입니다.이는 쉽게 말해 '일어날 수 있는 모든 결과들의 모음'입니다. 예를 들어, 동전을 한 번 던지는 실험에서 표본 공간은 {앞면, 뒷면}이고, 주사위를 한 번 던지는 실험에서 표본 공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다. 동전을 세 번 던지는 실험에서는 표본 공간이 {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, ..