조건부 확률 : 새롭게 주어진 정보를 활용하자

새로운 정보를 통해 불확실의 크기를 줄이는 방법

조건부 확률이란 무엇인가?

조건부 확률은 "어떤 사건이 '이미' 일어났다는 정보가 주어졌을 때, 다른 사건의 확률이 어떻게 바뀌는가?"를 다룹니다.

예를 들어, 카드를 한 장 뽑을 때 스페이드가 나올 확률은 1/4입니다. 그런데 만약 누군가 "그 카드는 검은색이에요"라는 정보를 알려준다면 어떨까요? 검은색 카드는 클럽이나 스페이드 중 하나여야 하므로, 이제 스페이드가 나올 확률은 1/2로 높아집니다. 이렇게 추가 정보에 기반해 확률을 업데이트하는 개념이 바로 조건부 확률입니다.

수학적 정의와 직관적 이해

조건부 확률은 다음과 같이 표기합니다:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

여기서 `|`는 given ( 주어진 상황)을 의미합니다.  따라서 

• P(A|B)는 "B가 일어났을 때 A의 확률"을 의미합니다.
• P(A ∩ B)는 "A와 B가 동시에 일어날 확률"입니다.
• P(B)는 "B가 일어날 확률"입니다.

 

이 공식을 시각적으로 이해해 봅시다. 전체 가능한 결과의 집합을 Ω(오메가)라고 하고, 이 안에 사건 A가 있습니다. 

이제 "B가 일어났다"는 것을 알게 되면, 우리의 관심 공간은 B로 제한됩니다. 그리고 이 B 안에서 A가 일어날 확률을 구하는 것이죠. 이것은 A와 B가 겹치는 부분(A ∩ B)의 크기를 B의 크기로 나누는 것과 같습니다.

실제 예시로 이해하기

예시 1: 주사위 (독립 사건)

두 개의 주사위를 던진다고 생각해 봅시다.

• 사건 A: 첫 번째 주사위가 3이 나옴
• 사건 B: 두 번째 주사위가 5가 나옴
• 사건 C: 두 주사위의 합이 6이 나옴

 

P(A|B)는 얼마일까요? 즉, 두 번째 주사위가 5가 나왔다는 정보가 첫 번째 주사위가 3일 확률에 영향을 미칠까요?

이 경우 두 주사위는 서로 독립적이므로, 두 번째 주사위의 결과는 첫 번째 주사위의 확률에 아무런 영향을 주지 않습니다.

따라서 P(A|B) = P(A) = 1/6입니다.

하지만 P(A|C)는 어떨까요? 두 주사위의 합이 6이라면, 첫 번째 주사위가 3일 확률은 달라집니다. 두 주사위의 합이 6이 되는 경우는 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)로 총 5가지입니다. 이 중에서 첫 번째 주사위가 3인 경우는 (3,3)으로 1가지이므로 P(A|C) = 1/5입니다.

예시 2: 카드 (의존 사건)

카드 한 장을 뽑는 상황을 생각해 봅시다.

• 사건 A: 카드가 스페이드임
• 사건 B: 카드가 검은색임 (스페이드 또는 클럽)
• 사건 C: 카드가 빨간색임 (하트 또는 다이아몬드)

 

먼저 기본 확률을 계산해 보면

• P(A) = 1/4 (전체 4개 슈트 중 스페이드는 1개)
• P(B) = 1/2 (카드의 절반은 검은색)

 

이제 조건부 확률을 살펴봅시다.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A) / P(B) = (1/4) / (1/2) = 1/2

즉, 카드가 검은색이라는 정보가 주어지면, 스페이드일 확률은 1/4에서 1/2로 증가합니다!

반면, P(A|C) = P(A ∩ C) / P(C) = 0 / (1/2) = 0

카드가 빨간색이라면, 스페이드일 확률은 0입니다. 이처럼 추가 정보는 때로는 확률을 완전히 바꿔놓기도 합니다.

예시 3: 암 검사 

이번에는 좀 더 실용적인 예를 살펴봅시다. 새로운 암 진단 테스트를 개발 중이라고 가정해 봅시다. 1,000명의 사람들을 테스트했고, 그 중 500명은 암이 있고 500명은 암이 없습니다.

• 암이 있는 500명 중
  • 450명은 양성 판정 (정확히 진단)
  • 50명은 음성 판정 (오진)

 

• 암이 없는 500명 중
  • 100명은 양성 판정 (오진, 가양성)
  • 400명은 음성 판정 (정확히 진단)

 

여기서

• 사건 A: 테스트 결과가 양성
• 사건 B: 실제로 암이 있음

 

이 데이터로부터 여러 확률을 계산할 수 있습니다.

1. 전체 양성 판정 확률: P(A) = (450 + 100) / 1000 = 550 / 1000 = 55%
2. 암이 있을 때 양성 판정 확률(민감도): P(A|B) = 450 / 500 = 90%
3. 가장 중요한 값: 양성 판정을 받았을 때 실제로 암이 있을 확률: P(B|A)  = P(A ∩ B) / P(A) = 450 / 550 ≈ 81.8%입니다.

역문제와 베이즈 정리

앞서 암 검사 예시에서 보았듯이, 실제 상황에서는 P(A|B) (암이 있을 때 테스트가 양성일 확률)은 알지만, P(B|A) (테스트가 양성일 때 암이 있을 확률)를 알고 싶을 때가 많습니다.

이렇게 "우리가 측정할 수 있는 것"으로부터 "우리가 정말 알고 싶은 것"을 추론하는 과정을 역문제(inverse problem) 또는 추론(inference)이라고 합니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 우리는 베이즈 정리(Bayes' theorem)를 사용합니다.

베이즈 정리는 조건부 확률의 정의에서 파생된 공식으로, P(B|A)를 P(A|B), P(A), P(B)를 사용하여 계산할 수 있게 해줍니다. 

정리

조건부 확률은 새로운 정보가 주어졌을 때 우리의 확률적 믿음을 어떻게 업데이트해야 하는지 알려주는 강력한 도구입니다. 이 개념은 의학적 진단부터 자연어 처리, 인공지능까지 다양한 분야에서 활용됩니다.

핵심 아이디어를 다시 정리하면

1. 조건부 확률 P(A|B)는 "사건 B가 일어났을 때, 사건 A가 일어날 확률"입니다.
2. 수학적으로는 P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)로 계산합니다.
3. 독립 사건의 경우 P(A|B) = P(A)이지만, 대부분의 실제 상황에서는 사건들이 서로 의존적입니다.
4. 베이즈 정리를 사용하면 P(A|B)로부터 P(B|A)를 계산할 수 있습니다.