Math♾️
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선형 시스템 파이썬으로 표현하기Math♾️/Linear Algebra 2023. 3. 13. 14:09
아래와 같은 2차 선형시스템을 생각해 보자 A→v=→b ## numpy와 matplot library import (필요한 라이브러리 import) import numpy as np import matplotlib as mpl import matplotlib.pyplot as plt ## 그래프 polt시 사용할 색 지정 mpl.rcParams['axes.prop_cycle'] = mpl.cycler(color=["#377eb8","#ff7f00", "#4daf4a", "#e41a1c", "#984ea3", "#a65628"]) $$(2−111) (xy) = \..
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OVERVIEW : SVDMath♾️/Singular Value Decomposition 2022. 10. 9. 23:48
고윳값과 고유벡터 위는 행렬 A, 고유벡터 →v, 고윳값 λ 간의 관계를 나타내는 식이다. 위 식은 무엇을 의미할까? 고유벡터 →v에 행렬을 곱하였더니 방향은 →v을 유지하며 벡터의 크기만 λ만큼 변화하였다. "고유벡터는 행렬이 곱해졌을 때 방향이 변하지 않는다" 이것이 고유벡터가 변화를 나타낼 때 유용하게 쓰이는 이유이다. 고유벡터가 아닌 벡터들은 행렬 곱으로 인한 변화가 방향과 크기 모두 일어나게 된다. 따라서 서로 선형독립인 벡터들을 기저로 하는 좌표계를 사용하더라도 고유벡터가 아닐 경우 행렬 곱으로 인한 변환이 각 기저벡터들의 방향을 변화시켜 각 축간의 중첩이 생겨 선형독립이 깨지게 되며 해당 좌표계상에서 나타나던 값들이 행렬로..
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Sparsity는 무엇을 의미하는가?Math♾️/Sparsity and Compression 2022. 9. 28. 13:11
우리가 얻는 신호 중에 실제 인지가능한 정보를 나타내는 신호의 수는 아주 적다. 20∗20 pixel로 이루어진 흑백이미지가 있다고 해보자. 이 흑백이미지가 표현할 수 있는 신호의 개수는 얼마나 될까? 한 pixel이 흑과 백 두가지 상태를 가질 수 있으므로 2(20∗20)에 표현가능한 이미지 공간을 형성한다. 계산 결과는 2.58225e+120로 우리가 상상으로도 범접하기 힘든 숫자이다. 해당 이미지 공간에서 우리가 인지 가능한 이미지의 수는 극히 일부를 차지한다. 그러면 표현가능한 이미지 공간상에서 인지가능한 이미지를 구성하는 요소들이 존재하여 해당 요소들과 관련된 성분만 추출할 수 있다면 우리는 필요한 성분만 남기고 압축된 형태로 저장 및 전송을 할 수 있으며 이 성분들만 가지고 원래의..
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왜 정보는 압축이 가능한가?Math♾️/Sparsity and Compression 2022. 9. 27. 23:30
"원숭이들이 자판을 무한히 자판을 두드렸을 때 세익스피어가 나올 수 있다" 위의 말은 무엇일까? 원숭이들이 자판을 무작위로 두드리면 말도 안되는 철자의 조합으로 구성된 글이 나올것이다. 하지만 확률에 신비한 마법으로 세익스피어와 같은 명작이 나올수도 있다. 즉 이 말은 철자의 조합으로 만들어질 수 있는 수 많은 글이 하나의 공간을 이룰 때 우리가 읽을 수 있는 글자는 해당 공간 상에서 극히 일부를 차지하며 그 중에서도 고전과 같은 명작이 나오는 것은 더 적은 수라는 것이다. 살아오면서 보고,듣는 것들로 세상이 이루어져 있다고 체험을 통해 느끼지만 우리가 인지 할 수 있는 구조화 된 신호인 오디오, 사진, 영상등은 무작위적인 조합으로 만들어 질 수 있는 것들로 이루어진 공간에 극히 일부에 해당한다. 반대로..
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Del 연산Math♾️/Vector Calculus 2022. 9. 27. 10:38
Del 연산자 Del 연산자는 벡터와 같이 하나의 객체가 여러 정보를 가지고 있으며 해당 객체의 변화가 여러 축에 대해서 나타날 때 이에 대해 기술하기 위하여 사용한다. Gradient 스칼라장이 함수로 주어졌을 때 Del을 취하게 되면 스칼라값들이 최대로 변화하는 방향을 나타내는 벡터들로 구성된 벡터장이 된다. 예를 들어 공간상에 온도분포가 주어지면 3차원상에서 각 점들의 온도가 하나의 값으로 나타날 것이다. 여기에 Del 연산을 하면 공간상에서 각 점에서 온도변화의 방향과 크기를 나타내는 벡터장으로 바뀐다. Divergence 벡터장에 Del과 내적을 하면 각 점에서 '변화의 양'을 나타내는 스칼라 값을 갖게 된다. 내적을 이용하면 해당 방향 성분을 얼마나 가지고 있는지 뽑아 낼 수 있으므로 벡터에 ..
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Vector Calculus는 PDE를 위한 언어이다.Math♾️/Vector Calculus 2022. 9. 26. 23:41
어떠한 현상을 분석하고자 했을 때 해당 현상을 구성하고 있는 요소들을 구분하고 이들이 상호작용하는 방식에 대해 기술한다. 따라서 구성요소들의 상호작용의 결과로 현상을 설명하게 된다. 이때 벡터는 구성요소들이 한가지 이상의 정보를 가지고 있을때 이를 나타내기 위해 사용한다. 예를 들어 요소의 직선상에서의 위치만을 고려하였을 때는 위치에 대한 한가지의 정보만을 가지고 있기 때문에 하나의 숫자로 명시해도 구분되지만 3차원상에 표현하게 되면 위치에 대한 3가지의 정보를 가지고 있다. 이에 따라 각 숫자가 가진 위치정보가 무엇인지 나타내야한다. 현상은 무언가가 변화함으로써 관측되게 된다. 이러한 변화를 분석하기 위해서는 구성요소들이 갖고 있는 정보들이 어떻게 변화하는지 알아야한다. 구성요소가 갖고 있는 정보가 여..
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라플라스 변환은 푸리에 변환의 일반형이다.Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 23. 22:07
푸리에 변환 푸리에 변환은 주기 함수의 주기를 무한대로 함으로써 파형의 주기성을 제거하고 파형자체만 남겼다. 이를 진동수 축에 사영시킴으로써 시간에 대하여 나타나던 파형을 진동수에 대해 나타낼 수 있었다. 푸리에 변환을 하기 위해서는 대상이 되는 함수가 주기를 가지고 있어야한다. (하나의 구간에 파형의 전체가 나타나야한다.) 주기를 가진 함수는 주기를 무한대로 보내어 하나의 구간에 대해서 확대되어 나타내면 양쪽값이 0에 수렴한다. 하지만 주기함수가 아닌 일반적인 함수에서 양쪽 값 모두 0에 수렴하지 않는 경우에 푸리에 변환을 적용할 수 가 없다. 라플라스 변환 라플라스 변환은 푸리에 변환을 적용할 수 없는 함수에 대하여 푸리에 변환을 가능하게 한 방법이다. Heaviside 계단 함수를 예로 들면 아래와..