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Math♾️

• 유한차분법

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 5. 24. 16:18

  수치해석적 미분이 필요한 이유? 실험을 통한 측정이나 관측을 이용하여 얻은 데이터들은 이산적이기 때문에 해석적으로 미분이 불가한 경우가 많다. 따라서 수치적 해석을 함으로서 데이터의 독립변수 대비 종속변수의 변화 경향성을 알 수 있다. 수치해석적 미분 접근방법 1. 인접한 점들을 선으로 연결함으로서 기울기를 구하는 방법(유한차분법) 2. Curve-fitting을 이용하여 데이터에 들어맞는 함수식을 찾은 뒤 해석적으로 미분하는 방법 수치해석적 미분시 고려해야 할 점 전체적으로 봤을 때는 $x$가 증가함에 따라서 $y$가 증가하는 모습을 확인할 수 있다. 하지만 인접한 두점을 이을 경우 계속해서 기울기가 양의 값과 음의 값으로 변동이 심한 것을 볼 수 있다. 위처럼 실험이나 관측을 통해 얻은 데이터들은 측..

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• 함수간의 내적에 대하여 생각하기

  Math♾️/Fourier Analysis 2022. 5. 20. 11:25

  벡터에서 내적을 이용하면 각 백터가 상호간에 얼마나 닮았는지를 나타낸다. 벡터 $\vec{u}$ 와 $\vec{v}$는 여러 기저벡터들이 결합되어 해당 방향을 가리키고 있는 것이라고 볼 수 있다. 따라서 기저벡터를 설정하고 그에 대하여 분해한다면 두 벡터는 기저벡터에 대하여 방향이 일치하는 성분과 방향이 일치하지 않는 성분으로 나타날 것이다. 내적은 그중에서 두 벡터의 크기가 일치하는 성분이 얼마나 되는지를 알려준다. 내적을 통해 두 벡터가 크기가 일치하는 성분을 추출하고 나면 해당 성분은 필요에 따라 $\vec{u}$ 또는 $\vec{v}$방향으로 나타낼수 있다. 둘 다 동시에 가지고 있는 크기성분이므로 이 말은 원래 각 벡터가 가지고 있는 성분이다. 따라서 각 방향으로 나타내는 것이 가능하다. 각 벡..

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• 푸리에 급수란 무엇일까?

  Math♾️/Fourier Analysis 2022. 5. 19. 23:15

  기저벡터기저벡터들의 선형합으로 공간상에 나타나는 벡터들을 모두 표현할 수 있다. 즉 공간을 구성하는 가장 기본이 되는 벡터이다. 서로 직교하는 2개의 벡터 $\vec{x},\vec{y}$가 주어지면 2차원상에 나타나는 모든 벡터들을 이 두가지의 벡터들의 각각 곱에 합으로 나타낼 수 있다.내적어떠한 대상간의 내적을 하게 되면 서로 동일하게 갖고 있는 부분을 추출하는 효과를 가진다. 벡터간 내적벡터간 내적은 $\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{x}^T\vec{y}$로 나타낸다.각요소간의 곱의 합으로 계산되면 결과값은 스칼라값이다. 즉 둘의 벡터가 닮은 정도를 크기로 타나낸낸다. 내적을 이용한 좌표계 변환직교하는 기저벡터들을 이용하여 공간상에 벡터를 분해하여 표기할 수 있다. 따라서 '다른' 직교하..

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• 행렬 곱 의미 생각하기

  Math♾️/Linear Algebra 2022. 4. 29. 19:12

  행렬곱의 의미 행렬곱은 선형변환으로서 벡터로 구성된(여러가지 정보를 가지고 있는) 여러 객체들을 INPUT받아, 각 객체들의 정보의 형태를 바꾸는 것 변환될 객체들(INPUT)이 가지고 있는 정보들이 바뀔 정보의 형태로 선형합을 통해 나타날 수 있다면 (현재정보와 바뀔정보 사이의 관계를 선형합을 통해 정의된다면) 위의 관계를 이용해 객체들이 가지고 있는 정보를 새로운 형태로 정의할 수 있다. 즉 곱해지는 행렬은 기존의 INPUT 행렬이 가지고 있던 각 객체들의 정보와 새롭게 바뀔 정보사이의 관계를 나타내는 함수이다. - INPUT 행렬 객체 짱구,철수의 정보인 나이와 키를 나타내는 행렬이다. - 변환 행렬 나이와 키와 몸무게,손크기,발크기 사이의 관계를 나타내는 행렬이다. 즉 나이와 키의 선형결합으로 몸..

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• 행렬의 의미 생각하기

  Math♾️/Linear Algebra 2022. 4. 29. 15:10

  $M\times N$ 행렬의 의미 $M\times N$ 행렬이 주어졌을 때, 이를 여러정보를 가지고 있는 객체들을 한 공간상에 나타낸것으로 볼 수 있다. - 이때 $M$은 서로 구분되는(독립인) 정보 종류의 개수를 나타낸다. (공간상에서는 차원으로 표현된다.) - $N$은 $M$개의 구분되는 정보를 갖고 있는 객체들의 개수를 나타낸다. (공간상에 점으로 나타난다.) 나이,키,몸무게로 3명의 사람을 공간상에서 표현한다고 하자. 나이,키,몸무게는 서로 구분되는 특징이기때문에 각각 하나의 독립된 축을 이룰수 있다. 따라서 3차원 공간으로 표현된다. 이 공간상에서 각 사람들은 나이,키,몸무게라는 3가지의 정보를 가진 객체로 표현된다. 위와 같이 세 사람의 키,몸무게,나이에 대한 정보는 구분되어 3차원 공간상에 ..

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• Solving Nonlinear Equations 05 - Newton's Method for Solving a System of Nonlinear Equations

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 15:46

  방정식의 해→ 해당 방정식을 그래프로 그렸을 때 해는 그래프상에 위치한다. 시스템의 해→ 시스템을 구성하는 방정식들을 그래프로 그렸을 때, 해는 모든 그래프상에 위치한다. 즉 해당 방정식들의 그래프들이 교차하는 지점이 해당 시스템의 해이다. - 비선형 시스템에서 해 찾기 2개의 미지수를 갖는 2개의 비선형 방정식 시스템은 다음과 같이 표현된다. $$f_1(x,y)=0\\f_2(x,y)=0$$ 만약 $x_2,y_2$가 위의 시스템의 해이고 임의로 추정한 $x_1,y_1$이 해에 충분히 가까이 있다고 생각해보자. 위의 조건이 만족한다면 찾고 있는 시스템의 해 $x_2,y_2$에서의 함수 값 $f_1(x_2,y_2),f_2(x_2,y_2)$를 Taylor series expansion을 통해 임의로 추정한..

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• Solving Nonlinear Equation 04-Muller's Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 12:38

  Muller's Method는 $f(x)=0$형태의 방정식의 수치해를 찾는 방법이다. Muller’s Method와 Secant Method는 $f(x)$상의 점을 연결하므로서 생기는 선이 $x$축과 만나는 점을 갱신된 수치해로 하여 이를 반복적으로 수행하는 과정을 거친다는 점에서는 유사하다. 둘의 차이는 이용하는 $f(x)$상의 점의 개수에 있다. Secant Method는 $f(x)$상의 점 두개를 이용하여 얻은 일차함수를 이용했다. Muller’s Method는 $f(x)$상의 점 세개를 이용하여 얻은 이차함수를 이용한다. Muller’s Method에서 사용하는 2차 다항식의 형태는 다음과 같다. $$P(x)=a(x-x_3)^2+b(x-x_3)+c$$ 위의 2차함수는 함수 $f(x)$위의 세점..

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• Solving Nonlinear Equations 03 - Fixed-Point Iteration Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 20:00

  Fixed-point iteration 방법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식의 수치해를 구할 때 사용하는 방법이다. $x=g(x)$형태의 방정식을 $f(x)=0$형태로 바꾸어 해를 구한다. $$x=g(x)\Rightarrow f(x)=g(x)-x=0\,\,$$ $y=x$와 $y=g(x)$의 교차점을 Fixed-Point라고 한다. Fixed-Point Iteration Method 알고리즘 1. 해석해가 존재한다고 추정되는 근처에 $x$축상에 임의로 $x_1$값을 정한다. 2. $x_1$에서 수직으로 올라가서 $g(x)$와 만나는 지점 $g(x_1)$값을 찾는다. 3. $g(x_1)$값에서 수평으로 따라가서 $y=x$와 만나는 점을 찾아 그 점에서 수직으로 내려간다. 이때의 값을 $x_2$로 한다. ..

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