함수간의 내적에 대하여 생각하기

벡터에서 내적을 이용하면 각 백터가 상호간에 얼마나 닮았는지를 나타낸다. 

 

벡터 $\vec{u}$ 와 $\vec{v}$는 여러 기저벡터들이 결합되어 해당 방향을 가리키고 있는 것이라고 볼 수 있다. 

따라서 기저벡터를 설정하고 그에 대하여 분해한다면 두 벡터는 기저벡터에 대하여

방향이 일치하는 성분과 방향이 일치하지 않는 성분으로 나타날 것이다.

내적은 그중에서 두 벡터의 크기가 일치하는 성분이 얼마나 되는지를 알려준다.

 

내적을 통해 두 벡터가 크기가 일치하는 성분을 추출하고 나면

해당 성분은 필요에 따라 $\vec{u}$ 또는 $\vec{v}$방향으로 나타낼수 있다.

둘 다 동시에 가지고 있는 크기성분이므로 이 말은 원래 각 벡터가 가지고 있는 성분이다. 따라서 각 방향으로 나타내는 것이 가능하다.

각 벡터가 가지고 있는 크기성분 중 내적을 통해 서로 동시에 갖고 있다고 확인된 부분만 추출하여 나타내는 것이므로

나타내고자하는 벡터의 방향성분만 가지고와 합쳐줘야한다. 즉 정규화가 필요하다. 

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함수간의 내적은 벡터의 내적과 유사하게 두 함수가 얼마나 비슷한지를 나타낸다.

함수간의 내적

함수 $f(x)$와 $g(x)$가 위와 같이 나타나 있을 때 함수를 벡터와 같이 취급하기 위해

일정한 간격 $\Delta x$간격으로 함수상의 점들을 샘플링한다. 

위와 같이 함수상의 점들을 샘플링하여 열벡터로 나타낸뒤 이를 벡터의 내적과 같은 방식으로 계산한다. 

위와 같이 각 성분 곱의 합으로 나타난다.

샘플링을 할 때 샘플링을 하는 간격($\Delta x$)이 작아질수록 샘플의 수($n$)가 증가하므로 이를 정규화 시켜주기 위해 

$\Delta x$를 곱해준다.

 

$\Delta x$가 무한히 작아지면 이는 리만합으로 다음과 같이 적분으로 표현이 가능하다. 

따라서 함수간 내적의 표현은 두 함수의 곱을 범위내에서 적분한것으로 표현된다.