푸리에 급수란 무엇일까?

기저벡터

기저벡터들의 선형합으로 공간상에 나타나는 벡터들을 모두 표현할 수 있다.
즉 공간을 구성하는 가장 기본이 되는 벡터이다. 

서로 직교하는 2개의 벡터 $\vec{x},\vec{y}$가 주어지면
2차원상에 나타나는 모든 벡터들을 이 두가지의 벡터들의 각각 곱에 합으로 나타낼 수 있다.

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내적

어떠한 대상간의 내적을 하게 되면 서로 동일하게 갖고 있는 부분을 추출하는 효과를 가진다. 

벡터간 내적

벡터간 내적은 $\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{x}^T\vec{y}$로 나타낸다.

각요소간의 곱의 합으로 계산되면 결과값은 스칼라값이다.
즉 둘의 벡터가 닮은 정도를 크기로 타나낸낸다. 

내적을 이용한 좌표계 변환

직교하는 기저벡터들을 이용하여 공간상에 벡터를 분해하여 표기할 수 있다.
따라서 '다른' 직교하는 기저벡터들을 이용하면 같은 벡터를 다른 기저벡터들로도 분해하여 표기할 수 있다.
 

공간상의 벡터 분해방법

 

1. 분해하고자 하는 방향으로 직교하는 기저벡터들을 설정한다.
2. 분해하려는 벡터를 각 기저벡터에 대하여 내적한다.(기저벡터방향으로의 크기성분을 추출한다.)
3. (분해하려는 벡터에서 빼낸 기저벡터방향 크기성분)+(기저벡터의 방향)으로 나타낸다.
4. 기저벡터의 크기가 1이 아닐 경우 기저벡터의 크기를 나누어 주어 기저벡터의 방향만 남긴다. 
( 분해하고자하는 벡터의 크기성분을 기저 벡터 방향으로 표시하고 싶기 때문에 기저벡터의 방향성분만을 필요하므로)-> 정규화
 

위의 방법을 이용하여 좌표계를 변환하면 아래그림과 같이 나타난다.
$\left\langle \vec{a},\vec{b} \right \rangle$은 벡터 a,b를 내적한다는 의미이다.

위의 그림을 식으로 나타내면 다음과 같다.

벡터 $\vec{f}$가 위와 같이 좌표계가 바뀌어서 표현되었다.
이처럼 벡터들은 내적을 이용하게 되면 원하는 방향의 직교하는 기저벡터들로 표현할 수 있다.
이를 확장하여 임의의 함수들에 대하여 직교하는 함수들의 선형합으로 분해하여 표현할 수 있다.
 

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sine 과 cosine 함수에 대하여

반지름의 크기가 $R$인 원의 중심이 $x-y$ 좌표평면의 원점에 놓여있다. 

 
삼각함수인 $sin$과 $cos$을 이용하여 원 둘레위의 좌표점을 나타낼수 있다.
$$x=R\cos(f\theta)\\y=R\sin(f\theta)$$
x-y축이 서로 직교하므로 $R\cos(f\theta)$와 $R\sin(f\theta)$또한 서로 직교한다.
 
$\theta$가 0에서 $2\pi$까지 증가할 때 $f$가 커지면 더 많은 바퀴를 돌게 된다. 
$f$가 1일때는 1바퀴
$f$가 2일때는 2바퀴
$f$가 n일때는 n바퀴
진동수는 주기적인 현상이 단위시간 동안 몇 번 일어났는지를 뜻하는 말
위에서는 일정한 $\theta$동안 한바퀴를 도는 현상이 몇번 일어 났는지를 진동수로 볼 수 있다.
$f$가 증가할수록 진동수가 증가한다. 
 

같은 $2\pi$동안 $sinx$가 한번 진동할때 $sin2x$는 두번 진동하는 모습을 볼 수 있다. 
 
$R$은 원의 반지름으로 $sin$,$cos$함수가 갖을 수 있는 최댓값,최솟값을 정해준다.
파동의 형태로 보면 진폭을 결정하는 요소이다. 

$2sinx$는 $sinx$에 비해 진폭이 두배로 나타남을 볼 수 있다. 

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위의 내용을 정리하면 사인,코사인 함수는 다음과 같은 요소로 구성되어 있다고 볼 수 있다. 

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푸리에 급수

임의의 함수 $f(x)$가 주어졌을 때 이를 진동수가 증가하는 사인과 코사인 함수의 유한합으로 바꾸어 표현하는 것이다.

함수를 아래의 기저 함수들로 분해해서 나타낸다.

- 사인과 코사인 함수는 서로 직교한다.
- 내적을 이용해 임의의 함수에서 사인과 코사인을 기저함수로하여 기저함수 방향으로의 크기성분을 빼내어 나타낼 수 있다.
- 진동수를 증가시켜가면서 하나의 함수를 각 진동수에서의 사인과 코사인함수의 합으로 분해할 수 있다.
 

주기가 2파이인 함수의 푸리에 급수
 
 
 
위의 푸리에 급수식을 주기 $L$에 대하여 일반화 하면 다음과 같다.