Gibbs Phenomena

Gibbs Phenomena

 

위와 같이 함수에 급격하게 값이 뛰는 점이 존재할 때 이를 불연속 점이라고 한다.

불연속점이 존재하는 함수를 푸리에 급수로 나타내게 되면 아래와 같이 나타난다.

불연속점이 존재하는 근방에서 푸리에 급수를 통해 근사시킨  값들이 진동하는 것을 알 수 있다.

이러한 현상을 깁스 현상이라고 한다.

 

 

임의의 주기함수를 푸리에 급수를 이용해 각 진동수 $k$로 분해할 때 진동수 $k$의 파형은 $cos(kx)$과 $sin(kx)$를 기저로 하여 구성되게 된다. 이때 $cos(kx),sin(kx)$ 모두 연속 함수이기 때문에 이들을 결합하여 값이 급격하게 변화하는 불연속 값을 나타내기 어렵다.

 

 

파이썬을 이용하여 나타낸 gibbs 현상

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['figure.figsize'] = [8, 8]
plt.rcParams.update({'font.size': 18})

dx = 0.01
L = 2 * np.pi
x = np.arange(0, L + dx, dx)
n = len(x)
nquart = int(np.floor(n/4))

f = np.zeros_like(x)
f[nquart:3*nquart] = 1

A0 = np.sum(f * np.ones_like(x)) * dx * 2/L
fFS = A0/2 * np.ones_like(f)

for k in range(1, 101):
    Ak = np.sum(f*np.cos(2*np.pi*k*x/L)) * dx * 2/L
    Bk = np.sum(f*np.sin(2*np.pi*k*x/L)) * dx * 2/L
    fFS = fFS + Ak*np.cos(2*np.pi*k*x/L) + Bk*np.sin(2*np.pi*k*x/L)

fig, axs = plt.subplots(3, 1)

axs[0].plot(x, f, color='r')
plt.sca(axs[0])
plt.title('f(x)')


axs[1].plot(x, fFS, color='b')
plt.sca(axs[1])
plt.title('Fourier series')


axs[2].plot(x, f, color ='r', linewidth = 2)
axs[2].plot(x, fFS, color ='b',linewidth =1)
plt.sca(axs[2])
plt.title('Overlap')

plt.subplots_adjust(left=0.125, bottom=0.1,  right=0.9, top=0.9, wspace=0.2, hspace=0.5)

 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation, rc
from IPython.display import HTML
plt.rcParams['figure.figsize'] = [8, 8]
plt.rcParams.update({'font.size': 18})
plt.rcParams['animation.html'] = 'jshtml'


dx = 0.01
L = 10
x = np.arange(0,L+dx,dx)
n = len(x)
nquart = int(np.floor(n/4))

f = np.zeros_like(x)
f[nquart:3*nquart] = 1

A0 = np.sum(f * np.ones_like(x)) * dx * 2 / L
fFS = A0/2 * np.ones_like(f)

fig,ax = plt.subplots()
plt.plot(x,f,color='k',linewidth=2)
fFS_plot, = plt.plot([],[],color='r',linewidth=2)

all_fFS = np.zeros((len(fFS),101))
all_fFS[:,0] = fFS

for k in range(1,101):
    Ak = np.sum(f * np.cos(2*np.pi*k*x/L)) * dx * 2 / L
    Bk = np.sum(f * np.sin(2*np.pi*k*x/L)) * dx * 2 / L
    fFS = fFS + Ak*np.cos(2*k*np.pi*x/L) + Bk*np.sin(2*k*np.pi*x/L)
    all_fFS[:,k] = fFS

def init():
    ax.set_xlim(x[0],x[-1])
    ax.set_ylim(-0.2, 1.2)
    return fFS

def animate(iter):
    fFS_plot.set_data(x,all_fFS[:,iter])
    return fFS_plot

anim = animation.FuncAnimation(fig,animate,init_func=init,frames=101,interval=50,blit=False,repeat=False)
HTML(anim.to_jshtml())

 

k : 1 ~ 101

k : 1 ~ 315

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