복소수 공간에서의 푸리에 급수

푸리에 급수의 의미

 

주기가 2파이인 경우

푸리에 급수를 이용하여 함수 f(x)를 k(진동수)를 증가시켜가면서 각 k에서의 사인과 코사인을 직교 기저로 하는 벡터의 합으로 나타낼 수 있었다. 

 

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복소수를 포함하는 경우 푸리에 급수

 

 

 

$c_k$는 실수부와 허수부로 나누어지는 복소수이다. 또한 $e^{ikx}$는 오일러 공식에 따라 $cos$와 $sin*i$의 형태로 나타낼수 있다. 

     

위를 양수부와 음수부 그리고 0으로 범위를 나누어서 나타내면 다음과 같다.

위의 식을 전개해서 실수부와 허수부로 나누면

만약 함수 $f(x)$가 실수값을 갖는다면 허수부는 0이 되므로 

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$e^{ikx}$는 직교기저이다. 

 

$e^{ikx}$를 $\psi_k$라고 해보자 (이때 $k$는 정수이다.)

함수간의 내적은 다음과 같이 표현된다.

$\psi_k$와 $\psi_j$를 내적해보자.

함수 $f(x)$가 주기가 $2\pi$ 인 함수라고 하면 해당 함수를 구성하는 각 진동수 $\psi_k$와 $\psi_j$ 또한 해당 구간에서 기저를 구성하므로 $-\pi$부터 $\pi$까지 구간에서 적분을 수행한다. 

1. $k=j$인 경우

같은 함수간의 내적은 해당 함수의 크기성분을 나타낸다. 이때의 값은 $2\pi$이다. 

2. $k\ne j$인 경우

위에서 나타나듯이 k와 j가 서로 다른 정수 일때 구간 $-\pi$부터 $\pi$까지 적분을 수행하면

실수부인 코사인과 허수부인 사인이 모두 상쇄되어 0이됨을 알 수 있다.

따라서 서로 다른 $\psi_k$와 $\psi_j$를 내적했을때의 값이 0임에 따라 각 $\psi$가 모두 서로 직교하고 있다는 것을 알 수 있다. 

즉 $\psi$는 직교기저(orthogonal basis)로 이용할 수 있다.

 

 

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복소수 공간에서의 푸리에 급수 의미

 

함수 $f(x)$를 직교기저 각 $\psi_k$을 방향으로 하는 성분들로 분해하여 나타낼 수 있다.