Math♾️
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합성 곱과 푸리에 변환Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 6. 14:13
Convolution 합성곱 (convolution)은 하나의 함수와 또 다른 함수를 반전 이동한 값을 곱한 다음 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 연산자이다. 두개의 함수 $f$와 $g$가 있을 때 두 함수의 합성곱은 다음과 같이 나타난다. 합성곱 연산은 두 함수 f, g 가운데 하나의 함수를 반전(reverse), 전이(shift)시킨 다음, 다른 하나의 함수와 곱한 결과를 적분하는 것을 의미한다. 위의 경우에는 함수 $g$를 반전후 전이시킨 경우이다. 위와 같이 나타내면 함수 $f$를 반전후 전이시킨 경우이다. 어떠한 함수를 반전후 전이시켰는지와 상관없이 두 식은 형태는 다르지만 항상 같은 값을 갖는다. 함수 $f(t)$와 $g(t)$가 위와 같이 주어졌다. 이 함수들을 시간에 대한 입력이..
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The Fourier Transform and DerivativesMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 6. 11:54
The Fourier Transform and Derivatives 함수 $f(x)$의 푸리에 변환과 푸리에 역변환 식은 다음과 같다. 함수 $f(x)$ x에 대하여 미분한 것의 푸리에 변환을 구하는 과정은 다음과 같다. 1. 푸리에 변환 식에 $f(x)$대신 $f'(x)$를 넣는다. 2. $f'(x)$를 $dv$ $e^{-iwx}$를 $u$로 보고 부분적분을 한다. 함수 $f'(x)$의 푸리에 변환은 함수 $f(x)$를 먼저 푸리에 변환한 뒤 $iw$ 항을 곱해줌으로서 얻을 수 있다. 위와 같이 푸리에 변환시 미분항이 변환되는 성질을 이용하면 함수 $f(x)$가 미분 계산이 어려운 경우 푸리에 변환을 통해 함수 $f'(x)$를 푸리에 변환한 것을 먼저 구한뒤 이를 푸리에 역변환 함으로서 함수 $f'(x..
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푸리에 변환에 대하여Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 5. 23:13
푸리에 급수 푸리에 급수란 임의의 주기 함수 $f(x)$를 각 진동수 $k$로 분해하는 과정이다. 분해된 각 진동수 $k$는 실수 영역에서는 sin 과 cos를 기저로 하여 함수 $f(x)$와 내적을 통해서 해당 진동수를 갖는 파 중 함수 $f(x)$를 구성하는 특정 $k$ 진동수의 파형을 나타내었다. 복소수 영역에서는 각 진동수 $k$를 $\psi_k$($k$는 서로 다른 정수)를 직교 기저로 하여 함수 $f(x)$와의 내적을 통하여 파형을 나타 내었다. - 주기가 $2\pi$인 경우 푸리에 급수의 형태 - 일반화한 주기가 $L$일때 푸리에 급수의 형태 - 복소수 공간에서 서로 직교하는 $\psi_k$를 직교 기저로 하여 각 진동수 $k$를 분해하였을 때 푸리에 급수의 형태 ( * 주기를 $2L$로 하..
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Gibbs PhenomenaMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 23:19
Gibbs Phenomena 위와 같이 함수에 급격하게 값이 뛰는 점이 존재할 때 이를 불연속 점이라고 한다. 불연속점이 존재하는 함수를 푸리에 급수로 나타내게 되면 아래와 같이 나타난다. 불연속점이 존재하는 근방에서 푸리에 급수를 통해 근사시킨 값들이 진동하는 것을 알 수 있다. 이러한 현상을 깁스 현상이라고 한다. 임의의 주기함수를 푸리에 급수를 이용해 각 진동수 $k$로 분해할 때 진동수 $k$의 파형은 $cos(kx)$과 $sin(kx)$를 기저로 하여 구성되게 된다. 이때 $cos(kx),sin(kx)$ 모두 연속 함수이기 때문에 이들을 결합하여 값이 급격하게 변화하는 불연속 값을 나타내기 어렵다. 파이썬을 이용하여 나타낸 gibbs 현상 import numpy as np import matpl..
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푸리에 급수/ 파이썬으로 확인하기Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 10:25
푸리에 급수 의미 생각 해보기 푸리에 급수는 임의의 연속인 주기함수 $f(x)$ 를 여러 진동수 $k$로 분해하여 나타낸다. 이때 각 진동수는 실수범위 내에서 $coskx$ 와 $sinkx$ 를 직교 기저로 하여 표현된다. 함수간의 내적은 두 함수가 얼마나 닮은가를 측정하므로 분해하려는 주기함수 $f(x)$를 $coskx$, $sinkx$ 와 내적하면 진동수 $k$를 갖는 파장 중 어떠한 모양을 갖는 파장이 함수 $f(x)$에 들어있는지 알 수 있다. * 같은 진동수를 갖는 파장이더라도 파장의 구체적인 형태가 다를 수 있다. 이러한 파장의 구체적인 형태는 $coskx$, $sinkx$의 크기 성분들을 조절하여 해당 모양을 나타낸다. 즉 푸리에 급수를 통해 주기 함수를 나타내게 되면 해당 주기 함수가 어떠..
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복소수 공간에서의 푸리에 급수Math♾️/Fourier Analysis 2022. 6. 20. 12:05
푸리에 급수의 의미 푸리에 급수를 이용하여 함수 f(x)를 k(진동수)를 증가시켜가면서 각 k에서의 사인과 코사인을 직교 기저로 하는 벡터의 합으로 나타낼 수 있었다. 복소수를 포함하는 경우 푸리에 급수 $c_k$는 실수부와 허수부로 나누어지는 복소수이다. 또한 $e^{ikx}$는 오일러 공식에 따라 $cos$와 $sin*i$의 형태로 나타낼수 있다. 위를 양수부와 음수부 그리고 0으로 범위를 나누어서 나타내면 다음과 같다. 위의 식을 전개해서 실수부와 허수부로 나누면 만약 함수 $f(x)$가 실수값을 갖는다면 허수부는 0이 되므로 $e^{ikx}$는 직교기저이다. $e^{ikx}$를 $\psi_k$라고 해보자 (이때 $k$는 정수이다.) 함수간의 내적은 다음과 같이 표현된다. $\psi_k$와 $\ps..
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수치적분Math♾️/Numerical Analysis 2022. 6. 3. 11:17
수치적분이 필요한 이유? 일반적으로 적분을 수행할 때는 위와 같이 피적분함수가 주어져 해석적으로 적분이 가능하다. 하지만 아래와 같이 현실에서 실험이나 관측을 통하면 이산적인 성격을 갖는 데이터를 얻게 된다. 이를 적분하기 위해서는 수치적 방법이 필요하다. Rectangle method 적분 대상이 되는 함수의 영역을 직사각형에 근사시켜 적분값을 구하는 방법이다. 위와 같이 원래의 피적분함수의 적분값과 상당한 오차를 가지는 것을 알 수 있다. 이것을 최소화 하기 위해서는 어떻게 해야할까? Composite rectangle method 전구간에 대하여 $x=a$ 의 함수값 $f(a)$ 또는 $x=b$의 함수값 $f(b)$를 이용하게 되면 사용한 $x$값과 멀어지면 높이로 사용하는 함수값 $f(x)$의 오..