랜덤은 무지의 결과다.

확률이란 무엇인가?

가장 기본적인 정의로, 확률은 특정 사건이 발생할 가능성을 계산하는 방법입니다. 수학적으로 표현하면

확률(A) = 사건 A가 발생할 수 있는 방법의 수 / 발생 가능한 전체 경우의 수

이 간단한 공식이 확률 이론의 기초가 됩니다.

동전 던지기 예제

가장 간단한 예제로 동전 던지기를 살펴봅시다. 공정한 동전을 두 번 던진다고 가정해 봅시다.

이 경우 가능한 모든 결과의 집합(Ω)은

• 앞면, 앞면 (H, H)
• 앞면, 뒷면 (H, T)
• 뒷면, 앞면 (T, H)
• 뒷면, 뒷면 (T, T)

총 4가지 경우가 가능합니다.

문제 1: 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은?

사건 A를 "적어도 하나의 동전이 앞면"이라고 정의하면

• 이 사건이 발생하는 경우: (H,H), (H,T), (T,H)
• 발생 가능한 방법의 수: 3
• 전체 경우의 수: 4
• 따라서 확률(A) = 3/4 = 75%

문제 2: 앞면이 하나도 나오지 않을 확률은?

사건 B를 "앞면이 하나도 나오지 않음"이라고 정의하면

• 이 사건이 발생하는 경우: (T,T)
• 발생 가능한 방법의 수: 1
• 전체 경우의 수: 4
• 따라서 확률(B) = 1/4 = 25%

주사위 던지기 예제

두 개의 주사위를 던지는 경우를 생각해 봅시다. 각 주사위는 공정하며 6면을 가지고 있고, 두 주사위는 서로 독립적입니다.

전체 가능한 경우의 수는 6 × 6 = 36가지입니다.

문제: 적어도 하나의 주사위가 5가 나올 확률은?

이 문제를 해결하는 방법은 여러 가지가 있습니다:

• 모든 경우를 나열하는 방법
  • 첫 번째 주사위가 1이고 두 번째 주사위가 5인 경우
  • 첫 번째 주사위가 2이고 두 번째 주사위가 5인 경우
  • ...
  • 첫 번째 주사위가 5이고 두 번째 주사위가 1, 2, 3, 4, 5, 6인, 경우
  • ...
  • 첫 번째 주사위가 6이고 두 번째 주사위가 5인 경우
  총 11가지 경우가 이 조건을 만족하므로, 확률 = 11/36
• 논리적 추론을 통한 방법
  • 확률(A) = 확률(첫 번째 주사위가 5) + 확률(첫 번째 주사위가 5가 아니고 두 번째 주사위가 5)= 6/36 + 5/36 = 11/36

확률의 실생활 응용

확률은 단순한 게임을 넘어 다양한 실생활 문제에 적용됩니다

• 날씨 예측 모델
• 건강 결과 예측(특정 증상이 있을 때 암일 확률 등)
• 부품 고장 확률 모델링
• 제조 및 안전 결과 예측
• 자율주행차의 보행자 충돌 위험 계산

이러한 복잡한 문제들도 결국은 "특정 사건이 발생할 수 있는 방법의 수를 전체 가능한 경우의 수로 나누는" 기본 원리로 돌아갑니다. 다만, 계산 방법이 더 복잡하고 정교해질 뿐입니다.

무작위성(Randomness)이란 무엇인가?

동전 던지기가 '무작위적'이라고 말하지만, 실제로는 물리적인 과정으로 결정론적(deterministic)입니다.

그렇다면 '무작위'란 무엇일까요?

바로 "우리가 가진 정보로는 예측하기 너무 어려운 결과"입니다.

즉, 동전 던지기의 결과는 이론적으로 예측 가능하지만,

우리의 측정 및 계산 능력의 한계로 인해 예측하기 어렵기 때문에 무작위적으로 취급됩니다.

실제로 머신러닝 알고리즘을 사용하면 동전이 공중에서 회전하는 영상만으로도 앞면이 나올지 뒷면이 나올지 50% 이상의 정확도로 예측할 수 있을지도 모릅니다. 반면, 방사성 원소의 붕괴와 같은 양자역학적 과정은 진정한 의미에서 무작위적입니다.

확률 vs 통계

• 확률: 발생 가능한 것을 모델링하고 계산하는 것
• 통계: 반대 문제를 다룸 - 데이터를 수집한 후, 이 데이터가 우리의 확률 모델과 일치하는지 테스트

예를 들어, 동전을 10번 던져서 10번 모두 앞면이 나왔다면, 그 동전이 공정할 확률은 얼마일까요?

이는 통계적 문제입니다. 우리는 데이터를 수집하고, 이 데이터가 우리의 모델(공정한 동전)과 얼마나 일치하는지 테스트합니다.