내 말로 풀어보는 선형 대수

 

왜 선형인가?

수많은 것들과 함께 살아가면서 이것들은 서로 상호작용을 한다. 그리고 이러한 상호작용으로 인해 어떠한 현상이 발생한다. 

따라서 이 현상이 왜 발생했는지 원인을 알기 위해서는 이 요소들 간의 상호작용의 형태 다시 말해서 관계를  파악해야 한다. 

관계를 파악하게 되면은 이 현상을 좀 더 단순하게 표현할 수 있기 때문이다. 

 

예를 들어 물체가 움직이는 것을 보았다고 해보자 그러면 근데 어떤 것은 느리고 어떤 것은 빠르다. 그러면 이러한 현상의 원인을 분석하기 위해서는 시간과 거리리라는 요소들의 관계를 고려해 본다. 같은 시간 동안 더 많이 가면은 빠르고 같은 시간 동안 덜 가면 느리구나

현상의 원인을 관계를 통해서 설명할 수 있게 되면은 이 현상을 개념화할 수 있게 된다.

정해진 시간동안 움직이는 거리가 달라지면은 빠르고 느리고 가 결정되는구나 그러면 이것을 속도라고 하자.

이 현상을 개념화한 순간 예측이 가능해진다. 속도가 100인 것은 속도가 20인 것에 비해 더 빠르겠구나 

이렇게 관계 파악을 통해 예측이 가능한 것을 선형성을 띈다고 한다.  

 

근데 세상은 단순하지가 않다. 어떠한 현상을 파악하기 위해서 고려해야 할 요소들이 너무 많고 이러한 요소들은 여러 상호작용을 하기 때문에 관계파악이 매우 어렵기 때문이다. 근데도 왜 선형대수를 활용할 까?

곡선이라도 곡면이라도 충분히 확대하면은 곧게 보인다. 

곡선일지라도 충분히 확대하면 직선으로 보이고 이 부분은 선형으로 취급하여 다룰 수 있다. 부분 부분으로 전체를 알아가는 방식인 것이다. 국소적인 부분에서는 관계의 파악이 가능하기 때문에 예측이 가능하고 이러한 부분 부분들을 모아서 전체를 예측해 보는 것이다. 

또한 엉켜있는 실타래는 어떻게 엮여 있는지 전체로 보면 파악이 힘들지만 부분으로 가서 각 실의 관계를 파악하면 알 수 있다. 

우리가 맞닥뜨리는 여러 복잡한 현상도 위와 같이 분해를 통해 현상의 구성요소를 파악하고 이것들을 조합해서 전체를 그려 보기 위해 선형대수를 활용하는 것이다. 

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벡터와 행렬 왜 쓸까?

우리가 현상으로 부터 관계를 이끌어 내기 위해서 각 구성요소를 파악하는 절차가 필요하다. 

각 구성요소는 하나의 성질만을 띄지 않는다. 예를 들어 해바라기반이라는 시스템이 있고 이 시스템을 구성하는 아이들을 분석하려 한다. 

짱구라는 아이는 하나의 특징만 가지고 있지 않다. 나이, 키, 몸무게 등의 많은 특징을 가지고 있다. 따라서 짱구라는 아이의 특징을 잘 정리하기 위해서 벡터의 형태로 정보를 모아둔다. 

이렇게 벡터의 형태로 정보를 모으는 이유는 다른 아이들도 함께 파악하려 할 때 정보의 구분이 편하기 때문이다. 

해바라기반 시스템을 이루는 구성요소 아이들을 위와 같이 행과 열의 형태로 표현하여 다른 아이가 추가되어도 아이에 따른 특징을 알기 쉽다. 더불어 구성요소의 특징 간에 관계성이 드러나기도 하기 때문이다. 

 

또 다른 이점은 공간상에서 다룰 수 있게 된다.

시스템을 구성하는 요소(객체)들을 공간상의 한점이라고 생각하고 공간을 구성하는 축을 각 객체들이 가지고 있는 특징으로 보는 것이다. 

인간은 시각적으로는 3차원 까지만 볼 수 있지만 

수학으로는 차원의 제한이 없기 때문에 수많은 특징을 가지고 있는 요소들도 수많은 축을 가지는 공간상에 한 점들이라고 생각할 수 있다. 

 

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기저를 왜 설정할까?

공간상에 요소들을 다루기 위해서는 요소의 특징들을 바탕으로 공간을 구성해야한다. 

공간을 구성하기 위해 필요한 것이 무엇이 있을 까? 눈을 감고 아무것도 없는 암흑 속에서 점 두 개를 생각해보자. 

이 점들의 위치를 어떻게 표현할 수 있을 까? 공간 상에서 물체의 위치는 모두 상대적으로 결정된다.

그러면 상대적이라는 말은 또 무엇일 까? 비교할 대상이 있어야한다는 말이다. 

우리가 수학에서 일반적으로 좌표계를 다룰 때 항상 가운데 지점에 원점이 찍혀있는 것을 볼 수 있다. 이 원점이 좌표계에서의 기준점 역할을 하여 다른 점들의 상대적 위치를 표현할 수 있게 된다. 근데 원점만 가지고는 뭔가 부족하다는 생각이 들지 않는가? 

맞다. 점으로 부터 뻗어 나오는 방향을 갖는 선들이 있어야한다. 왜 방향을 가지고 있을까? 방향은 크기의 특징을 표현하기 때문이다. 

다시 해바라기 반을 소환해보자.  해바라기 반의 아이들은 나이, 키, 몸무게라는 특징을 가지고 있다. 또한 각 특징은 5살, 110cm, 30kg 이라는 크기를 가지고 있다. 이렇게 공간상에서 객체들을 표현하기 위해서는 방향과 크기를 갖는 기준이 존재해야 한다. 

방향과 크기를 갖는 것 중에 우리가 쉽게 이해할 수 있는 개념이 있다. 바로 화살표이다. 화살표는 길이라는 크기를 가지며 찌르는 방향을 가지고 있다. 따라서 시스템을 구성하는 객체들을 벡터로 표현을 해놨는데. 이 벡터를 공간상에서 표현하기 위해서 화살표를 사용하기로 했으며 그러면 이 화살표들의 기준이 되는 화살표가 필요하게 되는데 이것을 기저 벡터, 공간을 구성하는 기본화살표라고 한다. 

 

자 그러면 공간을 구성하기 위해서는 기저벡터를 설정해야 한다는 것은 납득이 되었다. 그러면 기저벡터가 되기 위해서는 어떠한 조건을 갖추어야 할까? 기저 벡터가 되어 공간을 이루기 위해서는 공간상의 나타나는 객체들을 모두 표현할 수 있어야 하며 또한 각각을 구분할 수 있어야 한다.  그러기 위해서는 방향이 객체의 특징을 표현한다고 했으니 객체 특징만큼의 다른 방향을 갖는 화살표가 필요하다. 따라서 3개의 특징을 갖는 객체들을 표현하는 공간을 구성하는 기저 벡터는 총 3개가 되어야 한다. (3가지 특징(좌표) 값을 갖는 객체를 표현하기 위해서는 3개의 기저벡터가 필요하며 3개의 기저벡터가 이루는 공간의 차원은 3차원이 된다.)  결과적으로 이 3개의 기저벡터의 조합으로 공간상의 모든 점들을 표현할 수 있게 된다. 수학적 표현을 빌리면 기저벡터의 선형결합을 통해 공간상의 모든 벡터를 나타낼 수 있다. 

 

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행렬의 곱은 무슨 의미를 갖는가?

 

행렬은 곱은 뭔 의미를 가지길래 그렇게 맨날 계산을 해대고 왜 첫 번째 행렬의 열과 두 번째 행렬의 행이 맞지 않으면 계산이 안되는지  생각을 해봤다.

위와 같은 행렬이 주어졌다고 생각해 보자. 자 무엇이 보이는가? 

위에서 행렬은 여러 특징을 갖는 객체를 벡터로 표현하고 이 벡터를 여러 개 모아 보기 편하게 만들어 놓은 것이라고 했다. 

행렬의 안이 아니라 바깥쪽에서 의미를 살펴보면 찾을 수 있다.  행렬은 바로 특징 간의 관계를 나타내는 것이다.

m_1과 n_2의 관계에 대해서 a_11 성분이 설명해주고 있는 것이다. 

 

 

좀 더 편한 이해를 위해 짱구와 철수를 데리고 왔다. 

 

짱구와 철수의 나이와 키를 나타내는 행렬이 주어졌다.

말 그대로 짱구와 나이, 키의 관계를 나타내고 철수와 나이, 키의 관계를 나타내는 것이다.

짱구, 철수 행렬 옆에는 나이와 몸무게, 손크기,발크기의 관계  / 키와 몸무게,손크기, 발크기의 관계를 나타내는 행렬을 가지고 왔다. 

자 그러면 이 둘을 곱하면 어떻게 될까?

짱구가 가지고 있는 나이와 키라는 특징이

나이와 키가 몸무게, 손크기, 발크기와 같은 관계를 통해 변환됨으로써

짱구의 몸무게, 손크기, 발크기를 나타내는 행렬을 얻게 되었다.

행과 열의 관계를 통하여 하나의 관계가 다른 관계로 변환된 것이다. 이러한 과정을 선형변환이라고 한다. 

행렬이 갖고 있는 선형적인 관계성이 다른 행렬과의 관계를 통하여 바뀌었기 때문이다. 

이렇게 보면 왜 행렬곱에서 첫 번째 행렬의 열과 두 번째 행렬의 행의 수가 일치해야 하는지도 금방 이해가 가능하다. 관계의 연결을 위해서는 같은 수의 열과 행이 존재해야 하기 때문이다. 

 

위와 같은 관점에서 보면 전치행렬을 왜 하는지도 알 수 있다. 관계의 주체를 다르게 보기 위해서 하는 것이다. 

기존에 짱구와 철수라는 객체를 나이와 키 기저벡터로 구성된 공간에서 표현하고 싶었다면 트랜스포즈를 하게 되면

나이와 키라는 객체를 짱구 철수라는 기저벡터로 구성된 공간에서 표현하고 싶은 것이다. 다시 말하면

처음에는 짱구와 철수를 나이와 키로 설명하고 싶었는데, 나중에는 나이와 키를 짱구와 철수로 설명하고 싶은 것이다. 

설명의 전후 관계를 뒤바꾸는 행위인 것이다. 

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