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Solving Nonlinear Equations 03 - Fixed-Point Iteration MethodMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 20:00
Fixed-point iteration 방법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식의 수치해를 구할 때 사용하는 방법이다. $x=g(x)$형태의 방정식을 $f(x)=0$형태로 바꾸어 해를 구한다. $$ x=g(x)\Rightarrow f(x)=g(x)-x=0\,\, $$ $y=x$와 $y=g(x)$의 교차점을 Fixed-Point라고 한다. Fixed-Point Iteration Method 알고리즘 1. 해석해가 존재한다고 추정되는 근처에 $x$축상에 임의로 $x_1$값을 정한다. 2. $x_1$에서 수직으로 올라가서 $g(x)$와 만나는 지점 $g(x_1)$값을 찾는다. 3. $g(x_1)$값에서 수평으로 따라가서 $y=x$와 만나는 점을 찾아 그 점에서 수직으로 내려간다. 이때의 값을 $x_2$로 한다. ..
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Solving Nonlinear Equations 02- Newton Raphson MethodMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 16:03
- 뉴턴법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식에 대해서 수치해를 찾는 방법이다. - 뉴턴법을 사용하기 위해서는 함수 $f(x)$가 연속이며 미분가능해야한다 함수의 정의역내에서 임의의 $x_1$을 수치해로 설정한다. $x_1$에 대하여 함수 $f(x)$를 미분하여 tangent line(일차함수)를 구한다. tangent line이 $x$축과 만나는 지점을 다음 수치해 $x_2$로 설정한다. 2~3과정을 충분한 수치해를 얻을 때까지 반복하여 수행한다. - 위 과정을 수식으로 나타내면 다음과 같다. 첫번째 수치해 $x_1$에 대해 $f(x)$를 미분하여 기울기를 얻은 후 이를 tangent line(일차함수)로 나타내면 $$ y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1) $$ 두번째 수치해 $x_2$는 위에서 구한..
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내쉬균형(Nash Equilibrium)Game Theory 2022. 4. 15. 14:48
앞서 도출한 우월전략균형이나 강열등전략의 반복적제거는 우월전략이나 강열등전략이 있는 특수한 경우에서만 적용이 가능하다. 따라서 일반적인 상황에서도 적용할수 있는 균형개념이 필요하다. 균형 게임의 경기자들 중 외부적 충격없이(게임구조의 변화)는 아무도 자신의 전략을 수정할 유인이 없는 상태를 의미한다. 내쉬 균형 2인 게임에서 전략명세 $(s_1^*,s_2^*)$가 다음을 만족하면 $(s_1^*,s_2^*)$는 내쉬 균형이다. - 모든 $s_1\in S_1$에 대해 $u_1(s_1^*,s_2^*)\ge u_1(s_1,s_2^*)$가 성립 - 모든 $s_2\in S_2$에 대해 $u_2(s_1^*,s_2^*)\ge u_2(s_1^*,s_2)$가 성립 이때 각 경기자가 사용하는 전략 $s_1^*,s_2^*$를..
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완비정보하의 정태적 게임Game Theory 2022. 4. 15. 14:35
완비정보: 게임에서 플레이어들의 보수구조를 모두 알고 있는 상태 정태적게임: 상대방의 선택을 모르는 상태에서 진행하는 게임 -> 게임의 보수구조는 알고 있지만 각 경기자들이 상대방의 선택을 모르는 채로 의사결정을 해야하는 게임상황 우월전략균형 1. 강우월 (s strictly dominates s') 경기자 2의 어떤 전략 $s_2$에 대해서도 $u_1(s,s_2)>u_1(s',s_2)$가 성립하면 경기자 1에게 전략$s$는 $s'$에 대해 강우월하다고 한다. -> 상대가 가진 모든 전략에 대하여 내가 가진 전략 s가 s'보다 좋은 상황을 의미한다. (상대적인 의미) 이 상황에서는 경기자 1은 반드시 s'보다는 s를 선택하는 것이 합리적이다. 이때 전략s'은 s에 대하여 강열등(strictly domin..
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게임이론의 정의Game Theory 2022. 4. 15. 10:51
경제학은 인간의 합리성(rationality)을 기본 전제로 한다. 합리성이란? 목표를 달성하기 위해 최선을 선택을 하는 것을 말한다. 최선의 선택과 관련하여 유용한도구는 최적화(Optimization)이다. 행위주체의 목표를 목적함수로 구성하여 해당 목적함수의 값을 최대화 또는 최소화하는 선택변수의 값을 찾는것이 최적화의 기본적인 형태이다. 하지만 최적화는 기본적으로 일방적인 문제해결 방법이다. 현실에서는 의사결정 주체간의 결정들이 서로 상호작용하여 다른 의사결정을 만들어내는 경우가 많다. 예를 들어 경쟁기업의 가격하락정책을 보고 기존의 가격정책을 변경을 고려하는 기업을 많이 볼 수 있다. 위와 같이 나의 의사결정이 다른사람의 의사결정에 영향을 받는 상황을 전략적 상황(Strategic Situatio..
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Solving Nonlinear Equations 01-Bisection Method, Regula Falsi methodMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 13. 16:22
Bisection Method Bisection method는 $f(x)=0$ 형태의 방정식에서 수치해를 구하는 방법이다. 구하려는 해의 함수값은 0이므로 $x$축 선상에 있을것이다. 해가 있을 것으로 추정되는 범위 $[a,b]$를 설정한다. 이때, 함수 $f(x)$는 해당구간에서 연속이어야한다. (구간내에서 함수값이 정의 되지 않는다면 수치해를 구할 수 없다.) 핵심: 함수가 구간 $[a,b]$에서 x축과 만난다는 것은 해의 왼쪽과 오른쪽의 함수값의 부호가 다르다.→ 이점을 이용해 수치해에 접근한다. Bisection Method 알고리즘 해가 존재할것이라고 생각되는 구간 $[a,b]$를 설정한다. 만약 구간 내의 해가 존재한다면 $f(a)f(b)