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내쉬균형의 응용 - 네트워크 효과가 있는 경우Game Theory 2022. 4. 19. 13:00
네트워크 효과 사용자가 많을수록 해당 재화를 사용하는 사람들의 효용이 증가하는 상황을 말한다. Social Network Servise가 가장 흔한 이 경우의 예이다. SNS는 해당 플랫폼을 이용하는 사람들의 수가 증가할수록 이용자들이 공유할수 있는 정보의 양이 증가함에 따라 효용이 증가한다. 네트워크 효과에서의 내쉬균형 - 90명의 이용자가 플랫폼 A,B 중 하나를 선택한다. - 사용자수가 각각 a,b일때 이용자의 효용은 $u_A=2a, u_B=b$이다. - 내쉬균형 정의에 따르면 이용자들이 아무도 자신이 선택하고 있는 것을 바꾸려는 유인이 없어야한다. (각 경기자가 선택을 변경함에 따라 해당 경기자의 효용이 감소하거나 적어도 이전과 변화가 없어야한다.) - A의 이용자가 $a$일 경우, B의 이용자는..
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내쉬균형의 응용 - 부정적인 외부성이 있는 경우Game Theory 2022. 4. 19. 12:37
부정적인 외부성 어느 경기자의 선택이 다른 사람의 효용을 감소시키지만 그에 대한 보상이 이루어지지 않는 경우를 말한다. 부정적인 외부성이 있는 경우의 예 - 100명의 경기자가 유료도료(H)와 무료도료(L) 중 하나를 선택한다. - 각 경기자들의 효용은 식 $u(m,t)=-(m+t) (m: 통행료, t:시간)$을 따른다. (통행료가 비싸지거나 시간이 오래 걸릴수록 경기자들의 효용은 감소한다.) - 유로도로를 이용했을때는 통행료 $m$이 10을 지불하고 무료도로 이동시 통행료는 지불하지 않는다. - 사용자수 조합이 $(h,l)$인 경우 각각 $h$와 $2l$의 시간이 소요된다. - 유료도로의 사용자수가 $h$라 할 때, 무료도로의 사용자수는 $100-h$이다. - 이 경우에는 특정도로를 택하는 경기자의 수..
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내쉬균형의 응용 - 호텔링 모형Game Theory 2022. 4. 19. 12:05
호텔링 모형 기본적으로는 기업의 입지(어디서 장사를 해야 더 많은 손님을 끌어모을까?)에 관한 모형이지만, 제품의 차별화나 선거등의 다양한 주제에 활용되는 모형이다. - 구간 $[0,1]$에 같은 붕어빵을 같은 가격에 파는 상점이 둘이 있다. - 이때 손님들은 더 가까운 붕어빵집을 이용한다. 상점이 거리에 양끝에 위치하게 되면 거리의 중심을 기준으로 왼쪽에 있는 손님들은 왼쪽상점으로 오른쪽에 있는 손님들은 오른쪽 상점으로 갈 것이다. 이때 파란색 붕어빵집이 오른쪽으로 조금 옮겨가면 오른쪽으로 옮긴만큼은 파란색 붕어빵집이 상권을 가지게 되고 붕어빵 집 둘 사이 거리의 반을 각각의 붕어빵집이 나누어 가지게 된다. 이에 대응해서 빨간색 붕어빵집도 상권을 늘리기 위해서 왼쪽으로 옮기게 될것이다. 위의 과정을 반..
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내쉬균형의 응용 - 공유지의 비극Game Theory 2022. 4. 19. 11:15
공유지의 비극 공유 자원에 대한 무제한 접근이 허용될때 자원이 사회적으로 바람직한 수준보다 과다하게 사용되어 비효율적인 결과가 초래되는 것을 말한다. 두명의 목축업자가 개인의 이익을 위해 공유지에 소를 방목하는 상황을 생각해보자. 목축업자 1,2는 개별적으로 방목수준 $x_1,x_2$를 결정한다. 이때 목축으로 얻는 총가치를 함수 $V(X)=X(a-X) (X=x_1+x_2, a>c(한계비용))$를 따른다. 각 목축업자는 총 가치 $V(x)$를 방목수준 $x_1,x_2$ 비율로 나누어 가진다. 이 상황을 게임상황으로 표현하면 다음과 같다. 게임상황 1. Player: 목축업자 1,2 2. Strategy: 방목수준 $x_i$ 결정 ($x_i\in S_i=\mathbb{R}_+$) (소의 개체 수는 이산적이..
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내쉬균형의 응용 - 베르트랑 모형(Bertrand Model)Game Theory 2022. 4. 19. 10:27
베르트랑 모형 현실에서 기업간 경쟁이 주로 가격경쟁의 형태로 이루어지는 것을 주목하여 만든 가격경쟁 모형이다. - 동질적 재화 생산(기업간 생산품에 대한 구분 없음) - 생산기술 동일(각 기업의 비용함수 동일) - 두 기업의 가격이 동일할 시 시장을 양분 - 두 기업이 가격을 동시에 결정(정태적 게임 상황) - 소비자는 가격이 낮은 제품을 선택한다.( 가격이 1원이라도 상대기업보다 낮을 시 시장을 독점) -> 마지막 특징으로 인해 기업의 보수 함수가 불연속이다.(미분이 불가능하다.) 따라서 기술적으로는 최적대응이 잘 정의되지 않는다. 직관적 해결 균형에서 가격이 최소 $c$(비용) 이상이어야 한다. 위의 상황을 그래프로 나타내면 아래와 같다. $P_i$가 $P_j$보다 높은 경우에는 $q_i=0$이다.-..
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내쉬균형의 응용 - 쿠르노 모형Game Theory 2022. 4. 18. 14:33
앞서 본 게임에서는 전략들이 이산변수로 나타나 있었다. 즉 경기자들의 전략들 (가위,바위,보에서 가위와 보)처럼 게임내에서 서로가 정확히 구분되는 상태를 가지고 있었다. 하지만 현실에서는 가격과 같이 연속적이거나 정당성향처럼 각 범주안에서도 다양한 스펙트럼이 존재하는 경우처럼 변수들이 연속변수의 형태를 띄고 있다. 위와 같이 각 경기자들의 전략이 연속변수의 형태를 띄고 있는 상황일때 내쉬균형을 찾는 방법을 알아본다. Cournot Model(쿠르노 모형) 동질적 재화 산출량 경쟁 복점모형 1. 해당 재화를 생산하는 기업이 시장에 2 존재하며 두 기업이 생산하는 재화는 차이가 없다. 2. 두 기업이 동시에 산출량을 결정한다.(상대의 생산량을 모르는 상태에서 나의 생산량을 결정) 3. 담합금지(경쟁기업간 생..
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Solving Nonlinear Equations 05 - Newton's Method for Solving a System of Nonlinear EquationsMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 15:46
방정식의 해→ 해당 방정식을 그래프로 그렸을 때 해는 그래프상에 위치한다. 시스템의 해→ 시스템을 구성하는 방정식들을 그래프로 그렸을 때, 해는 모든 그래프상에 위치한다. 즉 해당 방정식들의 그래프들이 교차하는 지점이 해당 시스템의 해이다. - 비선형 시스템에서 해 찾기 2개의 미지수를 갖는 2개의 비선형 방정식 시스템은 다음과 같이 표현된다. $$ f_1(x,y)=0\\f_2(x,y)=0 $$ 만약 $x_2,y_2$가 위의 시스템의 해이고 임의로 추정한 $x_1,y_1$이 해에 충분히 가까이 있다고 생각해보자. 위의 조건이 만족한다면 찾고 있는 시스템의 해 $x_2,y_2$에서의 함수 값 $f_1(x_2,y_2),f_2(x_2,y_2)$를 Taylor series expansion을 통해 임의로 추정한..
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Solving Nonlinear Equation 04-Muller's MethodMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 12:38
Muller's Method는 $f(x)=0$형태의 방정식의 수치해를 찾는 방법이다. Muller’s Method와 Secant Method는 $f(x)$상의 점을 연결하므로서 생기는 선이 $x$축과 만나는 점을 갱신된 수치해로 하여 이를 반복적으로 수행하는 과정을 거친다는 점에서는 유사하다. 둘의 차이는 이용하는 $f(x)$상의 점의 개수에 있다. Secant Method는 $f(x)$상의 점 두개를 이용하여 얻은 일차함수를 이용했다. Muller’s Method는 $f(x)$상의 점 세개를 이용하여 얻은 이차함수를 이용한다. Muller’s Method에서 사용하는 2차 다항식의 형태는 다음과 같다. $$ P(x)=a(x-x_3)^2+b(x-x_3)+c $$ 위의 2차함수는 함수 $f(x)$위의 세점..