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합성 곱과 푸리에 변환Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 6. 14:13
Convolution 합성곱 (convolution)은 하나의 함수와 또 다른 함수를 반전 이동한 값을 곱한 다음 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 연산자이다. 두개의 함수 $f$와 $g$가 있을 때 두 함수의 합성곱은 다음과 같이 나타난다. 합성곱 연산은 두 함수 f, g 가운데 하나의 함수를 반전(reverse), 전이(shift)시킨 다음, 다른 하나의 함수와 곱한 결과를 적분하는 것을 의미한다. 위의 경우에는 함수 $g$를 반전후 전이시킨 경우이다. 위와 같이 나타내면 함수 $f$를 반전후 전이시킨 경우이다. 어떠한 함수를 반전후 전이시켰는지와 상관없이 두 식은 형태는 다르지만 항상 같은 값을 갖는다. 함수 $f(t)$와 $g(t)$가 위와 같이 주어졌다. 이 함수들을 시간에 대한 입력이..
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The Fourier Transform and DerivativesMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 6. 11:54
The Fourier Transform and Derivatives 함수 $f(x)$의 푸리에 변환과 푸리에 역변환 식은 다음과 같다. 함수 $f(x)$ x에 대하여 미분한 것의 푸리에 변환을 구하는 과정은 다음과 같다. 1. 푸리에 변환 식에 $f(x)$대신 $f'(x)$를 넣는다. 2. $f'(x)$를 $dv$ $e^{-iwx}$를 $u$로 보고 부분적분을 한다. 함수 $f'(x)$의 푸리에 변환은 함수 $f(x)$를 먼저 푸리에 변환한 뒤 $iw$ 항을 곱해줌으로서 얻을 수 있다. 위와 같이 푸리에 변환시 미분항이 변환되는 성질을 이용하면 함수 $f(x)$가 미분 계산이 어려운 경우 푸리에 변환을 통해 함수 $f'(x)$를 푸리에 변환한 것을 먼저 구한뒤 이를 푸리에 역변환 함으로서 함수 $f'(x..
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푸리에 변환에 대하여Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 5. 23:13
푸리에 급수 푸리에 급수란 임의의 주기 함수 $f(x)$를 각 진동수 $k$로 분해하는 과정이다. 분해된 각 진동수 $k$는 실수 영역에서는 sin 과 cos를 기저로 하여 함수 $f(x)$와 내적을 통해서 해당 진동수를 갖는 파 중 함수 $f(x)$를 구성하는 특정 $k$ 진동수의 파형을 나타내었다. 복소수 영역에서는 각 진동수 $k$를 $\psi_k$($k$는 서로 다른 정수)를 직교 기저로 하여 함수 $f(x)$와의 내적을 통하여 파형을 나타 내었다. - 주기가 $2\pi$인 경우 푸리에 급수의 형태 - 일반화한 주기가 $L$일때 푸리에 급수의 형태 - 복소수 공간에서 서로 직교하는 $\psi_k$를 직교 기저로 하여 각 진동수 $k$를 분해하였을 때 푸리에 급수의 형태 ( * 주기를 $2L$로 하..
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Gibbs PhenomenaMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 23:19
Gibbs Phenomena 위와 같이 함수에 급격하게 값이 뛰는 점이 존재할 때 이를 불연속 점이라고 한다. 불연속점이 존재하는 함수를 푸리에 급수로 나타내게 되면 아래와 같이 나타난다. 불연속점이 존재하는 근방에서 푸리에 급수를 통해 근사시킨 값들이 진동하는 것을 알 수 있다. 이러한 현상을 깁스 현상이라고 한다. 임의의 주기함수를 푸리에 급수를 이용해 각 진동수 $k$로 분해할 때 진동수 $k$의 파형은 $cos(kx)$과 $sin(kx)$를 기저로 하여 구성되게 된다. 이때 $cos(kx),sin(kx)$ 모두 연속 함수이기 때문에 이들을 결합하여 값이 급격하게 변화하는 불연속 값을 나타내기 어렵다. 파이썬을 이용하여 나타낸 gibbs 현상 import numpy as np import matpl..
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푸리에 급수/ 파이썬으로 확인하기Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 10:25
푸리에 급수 의미 생각 해보기 푸리에 급수는 임의의 연속인 주기함수 $f(x)$ 를 여러 진동수 $k$로 분해하여 나타낸다. 이때 각 진동수는 실수범위 내에서 $coskx$ 와 $sinkx$ 를 직교 기저로 하여 표현된다. 함수간의 내적은 두 함수가 얼마나 닮은가를 측정하므로 분해하려는 주기함수 $f(x)$를 $coskx$, $sinkx$ 와 내적하면 진동수 $k$를 갖는 파장 중 어떠한 모양을 갖는 파장이 함수 $f(x)$에 들어있는지 알 수 있다. * 같은 진동수를 갖는 파장이더라도 파장의 구체적인 형태가 다를 수 있다. 이러한 파장의 구체적인 형태는 $coskx$, $sinkx$의 크기 성분들을 조절하여 해당 모양을 나타낸다. 즉 푸리에 급수를 통해 주기 함수를 나타내게 되면 해당 주기 함수가 어떠..
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안 다Bull-shit🐶 2022. 8. 5. 23:03
대 낮, 태양이 모든 것을 보려하는 것 같다. 바다는 모든 것을 다 내어주듯이 빛난다. 찬란히 빛나는 것은 주위의 것을 끌어당긴다. 그저 곁에 서서 바라보는 이들 사이 그 빛의 그림자를 쫓는 사람이 있다. 뛰어든다. 물방울이 하늘을 향해 달려가다 금세 제 자리를 찾아 가고 자신의 존재가 변화를 줄 수 있을 것이라 생각은 온몸을 감싸는 물결에 씻겨 사라져버린다. 아직 머리 위를 때리는 햇살이 바다와 그 사이에 선을 그어주고 있다. 들어간다. 물의 경계가 점점 흐려진다. 무엇이 있는지 무엇이 없는지 구분이 사라진다. 더 가까이 갈수록 뚜렷해 질 것 같았던 것들이 더 깊어지며 희미해져 간다. 사라진다. 아무것도 없는 것인가 어둠만이 있는 것인가 무엇이든 알아가는 것은 처음에는 다 안다고 생각하다가도 점점 더 ..
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일의 기본&생활의 기본- 결국 사람이다.Library📓 2022. 6. 22. 22:13
일의 끝에는 사람이 있다. 평소 요리를 하면 채소,고기,생선등 살아있을 적에는 서로의 존재도 몰랐을 것 같은 재료들이 내 손을 거쳐서 하나의 요리가 되었을 때 내가 무언가를 '만들었다'는 뿌듯함이 있다. 이 뿌듯함 때문에 요리의 끝에 쌓이는 설거지를 무릅쓰고라도 요리를 하나씩 만들어 본다. 직접 먹어보면 솔직히 사먹는 것보다 맛있지는 않지만 성취감이 몰래 뇌속에 조미료를 뿌린 것 같이 내 몸에 더 잘 들어오는 것 같다. 같은 음식이라도 자기가 만든 음식은 더 애정이 간다. 내가 만든 음식을 누군가 먹고 맛있다고 해주었을 때는 뿌듯함이 2배가 된다. 하지만 잘 먹지 않을 때는 왠지 모를 서운함이 밀려오고 그 사람이 원망스럽기도 하다. 일을 한다는 것은 새로운 가치를 탄생시키는 절차이다. 내가 만들어낸 그것..
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복소수 공간에서의 푸리에 급수Math♾️/Fourier Analysis 2022. 6. 20. 12:05
푸리에 급수의 의미 푸리에 급수를 이용하여 함수 f(x)를 k(진동수)를 증가시켜가면서 각 k에서의 사인과 코사인을 직교 기저로 하는 벡터의 합으로 나타낼 수 있었다. 복소수를 포함하는 경우 푸리에 급수 $c_k$는 실수부와 허수부로 나누어지는 복소수이다. 또한 $e^{ikx}$는 오일러 공식에 따라 $cos$와 $sin*i$의 형태로 나타낼수 있다. 위를 양수부와 음수부 그리고 0으로 범위를 나누어서 나타내면 다음과 같다. 위의 식을 전개해서 실수부와 허수부로 나누면 만약 함수 $f(x)$가 실수값을 갖는다면 허수부는 0이 되므로 $e^{ikx}$는 직교기저이다. $e^{ikx}$를 $\psi_k$라고 해보자 (이때 $k$는 정수이다.) 함수간의 내적은 다음과 같이 표현된다. $\psi_k$와 $\ps..