내쉬균형의 응용 - 부정적인 외부성이 있는 경우

부정적인 외부성

어느 경기자의 선택이 다른 사람의 효용을 감소시키지만 그에 대한 보상이 이루어지지 않는 경우를 말한다. 

 

부정적인 외부성이 있는 경우의 예

- 100명의 경기자가 유료도료(H)와 무료도료(L) 중 하나를 선택한다.

- 각 경기자들의 효용은 식 $u(m,t)=-(m+t) (m: 통행료, t:시간)$을 따른다.

(통행료가 비싸지거나 시간이 오래 걸릴수록 경기자들의 효용은 감소한다.)

- 유로도로를 이용했을때는 통행료 $m$이 10을 지불하고 무료도로 이동시 통행료는 지불하지 않는다.

- 사용자수 조합이 $(h,l)$인 경우 각각 $h$와 $2l$의 시간이 소요된다.

- 유료도로의 사용자수가 $h$라 할 때, 무료도로의 사용자수는 $100-h$이다.

- 이 경우에는 특정도로를 택하는 경기자의 수가 증가할수록 해당 도로의 통근시간이 늘어나 그 도로를 이용하는 사람들에게 피해를 입힌다.

- 직관적으로 균형은 각 도로의 사용자수가 적절하게 분산되어 있을때 이루어질것이다.

 

내쉬균형찾기

내쉬균형의 정의에 따르면 모든 경기자들이 현재의 전략을 수정할 유인이 없어야한다. 

즉 현재 경기자들이 선택한 전략을 수정시 효용이 감소하거나 이전 효용과 차이가 없어 전략을 수정하지 않는 상태에 놓여 있어야 한다.

위의 경우에 내쉬균형을 위한 조건을 분석해보면 아래와 같다.

1. 유료도로 이용자가 무료도로로 선택을 바꾸었을때 효용의 감소가 일어나거나 이전 효용과 차이가 없어 전략수정유인이 없다.

2. 무료도로 이용자가 유로도로로 선택을 바꾸었을때 효용의 감소가 일어나거나 이전 효용과 차이가 없어 전략수정유인이 없다.

내쉬 균형을 이루기 위해서는 위의 두 조건을 모두 만족해야하므로 부등식 2개를 연립하면 $63\le h \le 64$이다.

따라서 이 상황에서의 내쉬균형은 $h=63,64$일 경우다.

부정적 외부효과가 발생하는 경우