내쉬균형의 응용 - 공유지의 비극

공유지의 비극

공유 자원에 대한 무제한 접근이 허용될때 자원이 사회적으로 바람직한 수준보다 과다하게 사용되어 비효율적인 결과가 초래되는 것을 말한다. 

 

두명의 목축업자가 개인의 이익을 위해 공유지에 소를 방목하는 상황을 생각해보자.

목축업자 1,2는 개별적으로 방목수준 $x_1,x_2$를 결정한다. 

이때 목축으로 얻는 총가치를 함수 $V(X)=X(a-X) (X=x_1+x_2, a>c(한계비용))$를 따른다.  

각 목축업자는 총 가치 $V(x)$를 방목수준 $x_1,x_2$ 비율로 나누어 가진다.

이 상황을 게임상황으로 표현하면 다음과 같다.

 

게임상황

1. Player: 목축업자 1,2

2. Strategy: 방목수준  $x_i$ 결정 ($x_i\in S_i=\mathbb{R}_+$)

  (소의 개체 수는 이산적이지만 분석의 편의를 위해 실수범위내에서 결정할수 있다고 하고 값을 구한뒤 가까운 정수값을 사용하기로 한다.)

3. Payoff: $u_i=X(a-X)\cdot \frac{x_i}{x_1+x_2}-cx_i=(a-c-x_1-x_2)x_i$

 

내쉬균형찾기

1. 각 경기자들의 목적

Payoff가 최대인 방목수준 $x_i$결정하기

2. 최적대응함수 찾기

3. 내쉬균형구하기

구한 최적대응함수의 교차점을 찾기 위에서 두식을 연립하여 해를 도출하면 다음과 같다. 

$x^*_1,x^*_2$는 내쉬균형점에서 각 경기자들의 전략이다. 

도출한 내쉬균형점은 개인의 효용을 최대화 했을 때의 균형점이다.

그러면 사회전체의 효용을 최대화 하면 어떠한 균형이 나올까?

사회적 효율성

사회적 효율성을 고려하는 상황은 최적화 상황이므로 목적함수의 최대화를 이용한다. 

즉 각 경기자들의 효용을 모두 합한 것이 최대가 되는 점을 찾는다.

-> $u=u_1+u_2$

게임상황에서의 내쉬균형시의 전체방목량 $\frac{2}{3}(a-c)$보다 사회적 효율성을 고려할때의 전체 방목량 $\frac{1}{2}(a-c)$가 더 작은 것을 확인할 수 있다. 

즉 사회의 효용을 최대화 할 수있는 방목량보다 개인들이 더 많은 방목을 함으로서 공유지가 과다하게 사용되는 공유지의 비극이 일어남을 알 수 있다.