내쉬균형의 응용 - 베르트랑 모형(Bertrand Model)

베르트랑 모형

현실에서 기업간 경쟁이 주로 가격경쟁의 형태로 이루어지는 것을 주목하여 만든 가격경쟁 모형이다.

- 동질적 재화 생산(기업간 생산품에 대한 구분 없음)

- 생산기술 동일(각 기업의 비용함수 동일)

- 두 기업의 가격이 동일할 시 시장을 양분

- 두 기업이 가격을 동시에 결정(정태적 게임 상황)

- 소비자는 가격이 낮은 제품을 선택한다.( 가격이 1원이라도 상대기업보다 낮을 시 시장을 독점)

-> 마지막 특징으로 인해 기업의 보수 함수가 불연속이다.(미분이 불가능하다.) 따라서 기술적으로는 최적대응이 잘 정의되지 않는다.

 

직관적 해결

균형에서 가격이 최소 $c$(비용) 이상이어야 한다.

위의 상황을 그래프로 나타내면 아래와 같다. 

$P_i$가 $P_j$보다 높은 경우에는 $q_i=0$이다.-> 아무것도 팔리지 않는다.

$P_i$가 $P_j$랑 같은 경우에는 전체 시장 수요에 절반을 가져간다.

$P_i$가 $P_j$보다 낮은 경우에는 시장을 독점하고 수요함수에 따라 기업 $i$에 생산량이 결정된다. 

 

게임 상황 분석

1. Player: 기업 1,2

2. Strategy: 가격 P의 결정

3. Payoff: $\Pi_i=(P_i-c)\cdot D(P_i,P_j)$

 

최적대응함수 구하기 $BR_i(P_j)=P_i$. [ $P_M$은 독점가격, C는 MC(Marginal cost)]

1. $P_j>P_M \Rightarrow P_i=P_M$ (상대가 독점가격 보다 높을시 독점가격 선점시 독점가격으로 시장전체 지배)

2. $P_j=P_M \Rightarrow P_i=P_M-\epsilon$ (상대의 독점가격보다 약간 싼 가격으로 시장 전체 지배)

3. $P_M>P_j>C \Rightarrow P_i=P_j-\epsilon$(상대가격보다 약간 싼 가격으로 시장 전체 지배)

4. $P_j=C \Rightarrow P_i=C$ (상대가격보다 내리면 손해를 보기 때문에 상대가격와 똑같이 하여 시장을 이분함)

5. $P_j<C\Rightarrow P_i>P_j$ (상대가격 이하면 물건 판매시 손해기 때문에 상대 가격보다 비싸게 설정하여 시장에 진입 안함)

위에서 구한 최적 대응을 그래프로 표현하면 아래와 같다. 

가격경쟁 게임시 최적대응함수 그래프

그래프를 보면 결국 이 게임의 내쉬 균형은 두 기업모두 한계비용인 C로 시장을 양분하는 상황임을 알수 있다.

내쉬균형: $(C,C)$ 

내쉬균형시 보수: $(0,0)$

 

 

베르트랑 모형은 경쟁기업간의 치열하게 가격 경쟁시 가격을 한계비용수준까지 떨어뜨려 기업의 이윤이 0으로 떨어지는 상황을 보여준다.

하지만 현실에서는 제품간의 차별성이 존재하거나 기업간 담합을 하는 등의 이유로 위와 같은 극단적인 상황은 보이지 않는다.