내쉬균형의 응용 - 쿠르노 모형

앞서 본 게임에서는 전략들이 이산변수로 나타나 있었다.

즉 경기자들의 전략들 (가위,바위,보에서 가위와 보)처럼 게임내에서 서로가 정확히 구분되는 상태를 가지고 있었다. 

하지만 현실에서는 가격과 같이 연속적이거나 정당성향처럼 각 범주안에서도 다양한 스펙트럼이 존재하는 경우처럼

변수들이 연속변수의 형태를 띄고 있다.

위와 같이 각 경기자들의 전략이 연속변수의 형태를 띄고 있는 상황일때 내쉬균형을 찾는 방법을 알아본다. 

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Cournot Model(쿠르노 모형)

 

동질적 재화 산출량 경쟁 복점모형

1. 해당 재화를 생산하는 기업이 시장에 2 존재하며 두 기업이 생산하는 재화는 차이가 없다.

2. 두 기업이 동시에 산출량을 결정한다.(상대의 생산량을 모르는 상태에서 나의 생산량을 결정)

3. 담합금지(경쟁기업간 생산량 조절 합의 없음)

 

- 수요함수: 전체 생산량에 따른 시장에서의 가격결정(생산량이 많아질수록 시장에서의 상품 가격 감소)

$P(Q) = a-bQ (Q(전체생산량)=q_1(기업1 생산량)+q_2(기업2 생산량), a(전체 시장크기),b(수요함수 기울기))$

- 비용함수: 생산량 증가에 따른 제품생산 비용 증가

$C(q_i)=cq_i (c: 생산시 상품 개당 비용, q_i: i기업의 생산량)$

 

- Game 상황 분석

1. Player: 기업 1,2

2. Strategic: $q_i\in \mathbb{R}_+$

3. Payoff: $\Pi_i=(P-C)q_i$ (이윤함수)

 

- 접근 방법

1. 각 기업의 수단과 목적을 명확히 정의한다.

목적: 기업의 이윤최대화-> 이윤함수 최대화

수단: 각 기업의 생산량 조절

2. 상대방 반응에 따른 나의 반응을 결정한다. -> Best Respose

    ㄷ상대방 생산량이 $q_2$로 결정되었을 때  내 이윤함수를 최대화하는 $BR_1(q_2)$구하기

3. 내쉬 균형을 찾는다.

    각 기업의 최적 대응 함수의 교차점을 찾는다.

- 위의 과정을 통해 도출한 각각의 기업에 최적대응함수를 그래프로 나타내면 다음과 같다. 

쿠르노 모형 내쉬균형 수렴과정

위의 그래프와 같이 각 기업은 상대 생산량에 대한 자신의 최적 생산량을 결정한다.

이러한 과정이 반복적으로 진행되면 결국 두 BR함수 그래프의 교점에 생산량 $(q^*_1,q^*_2)$가 수렴하는 모습을 볼 수 있다.

이 때의 생산량 $(q^*_1,q^*_2)$가 이 게임의 내쉬균형이다.

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기업간 담합이 가능한 경우

- 등이윤곡선: 각 기업에게 동일한 이윤을 주는 생산량 조합$(q_1,q_2)$점을 선으로 이은 곡선

 

등이윤 곡선

왼쪽의 곡선은 기업 1의 등이윤 곡선이다. $q_2=0$이 되어 기업 1이 시장의 모든 재화를 생산할 때 (독점시) 기업의 이윤이 최대화 된다.

따라서 기업 1의 등이윤 곡선 $I$가 $q_1$축에 가까워 질수록 기업1의 이윤이 증가한다.

오른쪽의 곡선은 기업 2의 등이윤 곡선이다. $q_1=0$이 되어 기업 2가 시장의 모든 재화를 생산할 때 (독점시) 기업의 이윤이 최대화된다.

따라서 기업 2의 등이윤곡선이 $q_2$축에 가까워질수록 기업2의 이윤이 증가한다.

-> 각 기업의 등이윤 곡선은 각 기업의 생산량 축에 붙을수록 더 큰 이윤을 주는 생산량 조합을 이은 곡선임을 알 수 있다.

 

담합시 균형점의 이동

각 기업이 자신들의 이익을 최대화 하기 위해 담합을 한다고 가정하자. 

기업들은 각자의 등이윤곡선을 최대한 안쪽으로 땡기면서 상대의 이윤도 고려해야 하기 때문에

자신들의 등이윤곡선중 가장 안쪽곡선이 상대의 등이윤곡선과 만나는 점(접점)을 택할 것이다. 

따라서 기존의 내쉬균형 $(q^_1,q^*_2)$는 점 A로 이동하게 될것이다.

결과적으로 각 기업은 생산량을 줄임으로서 최대의 이윤을 얻게 된다.