부분게임완전균형의 한계

역진귀납법을 이용한 균형은 경기자들이 균형에서의 도달여부와 관계없이 모든 부분게임에서 합리적으로 행동하도록 함으로서 비현실적인 내쉬균형을 제거하여 SPNE(부분게임완전균형)을 얻었다. 

하지만 게임에 불완비정보가 존재하는 경우 SPNE만으로는 완전히 합리적인 균형을 얻을 수 없는 경우가 존재한다.

진입게임을 통하여 위의 각 균형이 무엇인지 알아보자.

 

진입게임

기업1은 시장에 진입여부를 고민하는 기업으로 기업1의 전략은 다음과 같다.

$S_1=\{N(포기),E(진입)\}$

기업2는 시장에 이미 존재하고 있던기업으로 기업1이 시장에 진입(E)시 받아들이지 싸울지를 고민한다. 기업2의 전략은 다음과 같다.

$S_2=\{A(수용),F(싸움)\}$

 

내쉬균형(NE)

위의 게임트리를 보수행렬로 나타내면 아래와 같다. 

내쉬균형은 각 경기자들에 대하여 상대 경기자의 전략을 고정시켰을 때의 최적대응을 구한뒤 각 경기자의 최적대응이 교차하는 지점을 찾는 방식으로 찾을 수 있다.  *최적대응: 상대전략에 대해 내전략중 보수를 극대화하는 전략

 

1의 최적대응(O)은 2가 A를 택했을 때 E이며, F를 택했을 때는 N이다.

2의 최적대응(X)는 1이 N을 택했을 때 A,F이며, E를 택했을 때는 A이다.

따라서 이 게임의 내쉬균형은 (N,F)와 (E,A)이다.

 

각 균형의 합리성을 따져보면 (N,F)인 경우 2가 싸우는 것을 선택할 때 1은 자신이 오히려 손해를 보기때문에 진입을 포기하는 것이 타당해 보인다. 하지만 이는 2의 신뢰성이 없는 위협에 기반을 둔 내쉬균형이다. 만약 1이 E를 택한다면 2가 자신의 손해를 감수하면서 F을 선택하는 것은 합리적이지 않기 때문이다. 진짜로 1이 진입을 택했을 때는 2는 균형 (E,A)와 같이 수용을 택할것이기 때문이다.

위와 같이 내쉬균형을 이용한 균형은 비합리적인 균형이 포함될 수 있다. 때문에 이를 거르기 위해 나온 개념이 부분게임완전균형이다.

 

부분게임완전균형(SPNE)

부분게임완전균형을 구하기 위해서 역진귀납법을 활용한다. 각 하위부분게임에서의 합리성을 따져 균형을 도출하는 방법이다.

2는 A와 F를 선택했을 때 보수가 1과 0이다. 따라서 합리적인 경기자라면 A를 선택할 것이다.

1은 2가 A를 선택할 것을 알고 있다. 때문에 N선택시 얻는 보수 0과 E선택시 2가 A를 선택함으로서 얻는 보수 1을 비교할것이다.

1은 보수가 더 큰 E를 선택할 것이다. 결과적으로 SPNE은 (E,A)이다.

위와 같이 SPNE에서는 NE에서의 비합리적인 균형이 제거되는 것을 알 수 있다.

 

하지만 불완비정보가 존재하는 경우(상대의 보수구조에 대한 정보가 없는 경우)에는 SPNE을 통해서도 비합리적인 균형이 걸러지지 않는 경우가 생길 수 있다. 다음 예를 통해서 불완비정보가 존재할 때의 균형을 살펴보자.

 

불완비정보 진입게임

하시니가 도입한 자연 개념을 이용하여 불완비정보가 존재할때의 게임트리를 표현하면 위와 같다.

위의 게임트리를 분석하면 1의 보수구조에 대해 불완비정보가 존재하는 경우이다.

왼쪽 하위트리는 기존의 진입게임과 동일하지만 오른쪽 하위트리는 왼쪽트리보다 1의 보수가 작음을 확인할 수 있다.

이는 오른쪽의 경우에는 진입하려는 기업1의 생산기술이 왼쪽보다 열악한 경우라고 판단할 수 있다.

 

이 게임에서 중요한 점은 기업2는 기업1의 생산기술수준을 모르기 때문에 2의 노드가 하나의 정보집합으로 묶이게 된다.

이 때문에 기업1이 진입(E)시 기업2는 자신이 어느 하위트리에 위치해 있는지 모르기 때문에 각 하위트리에서 독립적인 결정을 할 수 없다.

따라서 각 하위트리는 하나의 트리로 취급되며 부분게임이 존재하지 않게 된다.

부분게임이 존재하지 않기 때문에 전체 게임의 내쉬균형이 자동적으로 SPNE가 된다.

(-> 전체 트리가 하나의 부분게임으로 취급되기 때문에)

 

NE를 찾기 위해서 각 경기자들의 전략을 찾은 뒤, 각 경기자들이 상대전략에 대한 최적대응을 찾는다.

 

각 경기자들의 전략

 

1은 자신의 생산기술수준을 안다. 따라서 노드가 구분되어 있으므로 각 노드에서 독립적으로 전략을 취할 수 있다. 따라서 1의 전략은 

$S_1=\{EE,EN,NE,NN\}$

 

2는 상대의 생산기술수준을 모른다. 따라서 노드가 구분되지 않으므로 각 노드에서 독립적으로 전략을 취할 수 없다. 따라서 2의 전략은

$S_2=\{A,F\}$

 

경기자들의 기대보수

 

경기자1은 자신의 생산기술수준을 알지만 경기자2은 1의 생산기술수준을 모름으로서 발생하는 불완비정보 때문에 전체게임은 자연에 의해 임의의 확률에 따라 경기자들의 보수가 정해짐으로 기대보수를 고려해야한다. 

경기자 2가 전략 A를 취했을 때 경기자1이 전략 NE를 사용한다고 가정하면

경기자1은 1/2확률로 보수 0을 1/2확률로 보수-1을 얻기때문에 기대보수가 -0.5이다.

경기자2는 1/2확률로 보수 2를 1/2확률로 보수 1을 받기때문에 기대보수가 1.5이다.

위와 같은 방식으로 경기자1,2의 모든 전략에 대응하는 기대보수를 구하면 다음과 같다.

 

 

각 경기자들의 최적대응이 교차하는 지점찾기

 

최적대응이 교차하는 지점은 (EN,A)와 (NN,F)로 이 게임의 내쉬균형이다.

위에서 말한 것과 같이 부분게임이 존재하지 않으므로 위의 균형이 곧 SPNE이다.

 

균형의 합리성 분석

 

- (EN,A)

경기자1은 왼쪽 노드에서 경기자2가 A을 할 경우에는 N을 선택시 보수 0보다 E를 선택시 보수 1이 더 크기 때문에 E를 선택한다.

경기자1은 오른쪽 노드에서 경기자2가 A을 할 경우에는 N을 선택시 보수 0보다 E를 선택시 보수 -1이 더 작기 때문에 N을 선택한다.

경기자2는 경기자1의 전략에 관계없이 항상 A을 선택할시 보수가 더크다. 

따라서 균형 (EN,A)는 합리적이다.

 

-(NN,F)

경기자 2가 F를 선택하여 경기자 1이 모두 N을 선택하는 것은 신뢰할 수 없는 위협에 의한 균형이다. 

경기자 2는 어떤 상황에도 F보다 A를 선택하는 것이 합리적이다.

따라서 균형 (NN,F)는 비합리적이다.

 

분석에 봤을 때 (NN,F)가 합리적인 균형이라고 할 수 없지만 이 게임에서는 (NN,F)는 SPNE이다.

이를 보아 부분게임완전균형은 불완비정보가 게임에 내재되어 있을 때 균형을 정제하는 데 한계가 있음을 알 수 있다.

 

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