차최고가 밀봉 경매

차최고가 밀봉 경매

차최고가 밀봉경매는 임의의 가치평가액 분포를 가진 경매의 참여자들 중 최고가(가장높은 가격)를 써낸 입찰자가 낙찰받아 차최고가(두번째로 높은가격)로 물건의 값을 지불하는 형태의 경매

 

- 낙찰자: 최고가 입찰자

- 낙찰가: 차최고가

 

차최고가 밀봉 경매의 균형

차최고가 경매에서는 모든 경기자가 자신의 가치평가액($v_i$)를 그대로 입찰가($b_i$)로 제출하는 것이 약우월 전략이기 때문에 

모든사람이 자신의 가치평가액을 그대로 입찰하는 것이 차최고가가경매의 BNE(베이지안 내쉬 균형)이다.

 

 

* 약우월 전략: 경기자의 전략 중 한 전략에 대한 효용이 다른 전략들에 효용에 비해 작지 않으며 다른 전략들 중 하나 이상에 대해 더 큰 효용을 줄 때 해당 전략을 다른전략들에 대해 약우월하다고 한다.

 

 

균형 도출 과정

Player $i$에 대해 전략 $v_i=b_i^*$가 $v_i>b_i$ 그리고 $v_i<b_i$ 전략에 대하여 약우월하다는 것을 보인다.

 

=> 가치 평가액 그대로 입찰가를 제시하는 것이 가치평가액보다 작게 입찰가를 제시하거나 크게 입찰가를 제시하는 경우들에 대하여 약우월하다는 것을 보인다.

 

*Notation: $b_{-i}^{max}=max\{b_1,b_2,\cdots,b_{i-1},b_{i+1},\cdots,b_n\}$

경기자 i를 제외한 입찰가중 가장 큰 입찰가를 $b_{-i}^{max}$라고 한다.

 

Case1) 가치평가액 그대로 입찰가로 제시하는 것이 가치평가액보다 큰 가격을 입찰가로 제시하는 것에 대해 약우월하다.

 

 

1-1) 다른 사람들의 입찰가 중 제일 높은 가격이 나의 가치 평가액보다 낮은 경우

 

해당 경우에는 나의 가치평가액보다 크게 적든 같게 적든 다른 사람들의 입찰가가 나의 가치평가액에 미치지 못하기 때문에 모든 경우에 낙찰받는다.

 

차최고가 경매로 내가 쓴 가격이 아니라 다른이들의 가격중 제일 높은 가격으로 낙찰 받는데 나의 가치평가액이 다른 이들의 가격중 제일 높은 가격보다도 높으므로 낙찰 받게 되면 효용이 0보다 크게 된다. (효용: 나의 가치평가액-낙찰가격)

 

따라서 이 경우에는 가치평가액보다 크게 쓰거나 가치평가액보다 같게 쓰는 경우 모두 같은 효용을 준다.

 

 

1-2) 다른 사람들의 입찰가 중 제일 높은 가격이 나의 가치 평가액보다 높은 경우

 

다른사람들의 입찰가 중 최고가가 나의 가치평가액보다 높은 경우에는 나의 가치평가액과 같은 가격을 제시하는 전략을 사용하게 되면 낙찰받지 못하게 되고 0의 효용을 얻는다.

 

나의 가치평가액보다 더 높은 가격을 써서 내는 경우에는 다른사람들의 입찰가 중 최고가보다 높은 경우와 낮은 경우로 나누어 생각해야한다. 나의 가치평가액보다 더 높은 가격을 써서 냈을 때 이 가격이 다른사람의 입찰가 중 최고가보다 낮게 되면 낙찰을 받지 못하고 0의 효용을 얻지만 이 가격이 다른사람들의 입찰가 중 최고가보다 높게 되면 낙찰을 받게 되고 다른사람들의 입찰가 중 최고가를 지불하게 된다.

이때 지불하게 되는 가격이 나의 가치평가액보다 높기 때문에 0 보다 작은 효용을 얻게 된다. 

 

따라서 이경우에는 가치평가액과 똑같이 입찰가를 쓴 전략은 0의 효용을 얻지만 가치평가액보다 크게 입찰가를 쓰는 전략은 다른 사람들의 입찰가 중 최고가에 따라 손해를 보는 경우가 생긴다. 

 

 

입찰가를 가치평가액 그대로 쓸때는 효용이 0 이상이지만 가치 평가액보다 크게 쓰는 경우는 효용이 (-)가 되는 경우가 있으므로 가치평가액대로 입찰가를 쓰는 전략은 가치평가액보다 크게 쓰는 전략에 대해 약우월하다.

 

 

Case2) 가치평가액 그대로 입찰가로 제시하는 것이 가치평가액보다 작은 가격을 입찰가로 제시하는 것에 대해 약우월하다.

 

 

 

 

2-1) 다른 사람들의 입찰가 중 제일 높은 가격이 나의 가치 평가액보다 낮은 경우

 

다른사람들의 입찰가 중 최고가가 나의 가치평가액보다 낮은경우에는 나의 가치평가액과 같은 가격을 제시하는 전략을 사용하면 낙찰을 받아 다른 사람들의 가격중 최고가를 지불하며 0이상의 효용을 얻는다. 

 

나의 가치평가액보다 낮은 가격을 써서 내는 경우에는 다른사람들의 입찰가 중 최고가보다 높은 경우와 낮은 경우로 나누어 생각해야한다. 나의 가치평가액보다 더 낮은 가격을 써서 냈을 때 이 가격이 다른사람의 입찰가 중 최고가보다 낮게 되면 낙찰을 받지 못하고 0의 효용을 얻얻고 이 가격이 다른사람들의 입찰가 중 최고가보다 높게 되면 낙찰을 받게 되고 다른사람들의 입찰가 중 최고가를 지불하며 0이상의 효용을 얻는다. 

 

따라서 이경우에는 가치평가액 그대로 입찰가를 썼을 때는 무조건 낙찰받아 0이상의 효용을 받지만 가치평가액보다 작게 입찰가를 썼을 때는 낙찰받지 못해 효용이 0인 경우가 생긴다.

 

 

2-2) 다른 사람들의 입찰가 중 제일 높은 가격이 나의 가치 평가액보다 높은 경우

 

해당 경우에는 나의 가치평가액보다 작게적든 같게 적든 다른 사람들의 입찰가가 나의 가치평가액에 보다 크기 때문에 모든 경우에 낙찰받지 못한고 0의 효용을 얻는다.

 

따라서 이 경우에는 가치평가액보다 크게 쓰거나 가치평가액보다 같게 쓰는 경우 모두 같은 효용을 준다.

 

따라서 입찰가를 가치평가액 그대로 쓸때는 효용이 0보다 크지만이지만 가치 평가액보다 작게 쓰는 경우는 효용이 0이 되는 경우가 있으므로 가치평가액대로 입찰가를 쓰는 전략은 가치평가액보다 작게 쓰는 전략에 대해 약우월하다.

 

 

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