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FFT를 이용한 미분값 계산Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 19. 11:14
푸리에 변환과 미분 f(t)의 미분형을 푸리에 변환하게 되면 위와 같이 iw 텀과 f(t)의 푸리에 변환으로 나타나는 것을 알 수 있다. 즉 f(t)를 푸리에 변환한 이후 iw을 곱한것을 푸리에 역변환하게 되면 f(t)의 미분형을 얻을 수 있다. 푸리에 변환시 미분 특징을 FFT에 이용 FFT는 DFT 연산을 빠르게 하는 방법으로 이산적인 데이터에 대하여 푸리에 변환을 가능하게 한다. 푸리에 변환시 미분의 특징을 이산적인 데이터에 적용하면 다음과 같이 나타난다. 그림에서 k는 w와 동일한 역할을 한다. - w는 시간 텀에 대하여 미분하였을 때 사용하며 temporl frequency라고 한다. - k는 공간 텀에 대하여 미분하였을 때 사용하며 spatial freque..
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FFT를 이용한 noise 제거하기Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 17. 22:59
nosie 제거 방법 신호를 측정시 신호에는 측정 대상이 되는 신호이외의 여러 noise들이 끼어 들어오게 된다. 이는 원래의 신호를 분석하는데 noise들이 방해가 되므로 이들을 제거해야한다. 신호를 측정시 측정된 신호간에는 측정기기로 인한 term이 생겨 이산적인 데이터를 얻게 되므로 이를 푸리에 변환하기 위해서는 DFT를 이용해하지만 해당 방법은 연산에 드는 자원이 많이 든다. DFT와 같이 이산적 데이터들을 푸리에 변환하면서 연산의 횟수를 줄이는 방법인 FFT를 사용한다. 데이터들을 FFT하여 시간 domain에서 진동수 domain으로 바꾸면 각 데이터점들이 어떠한 진동수들을 가지고 있는지 알 수 있다. 이때 측정하려는 신호는 일정한 진동수들의 조합으로 되어있으므로 각 데이터들점들은 해당 진동수..
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Fast Fourier Transform (FFT)Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 17. 00:35
FFT 이산 푸리에 변환은 데이터들이 이산적인 형태로 주어졌을 때 이를 벡터로 나타내어 각 데이터점이 어떠한 진동수들로 구성되어 있는지 푸리에 변환을 통해 쪼개고 같은 진동수끼리 합하여 전체 데이터들이 어떠한 진동수를 가지고 있는지 푸리에 domain에서 나타내는 방법이다. 이산 푸리에 변환(DFT)를 이용할 경우에는 n개의 fn이 wjk 행렬의 각 행에서 n번 곱을 수행하며 이런한 연산을 모든 n개의 행에 대해서 반복적으로 수행하므로 빅오 표기법으로 나타내면 DFT 알고리즘의 계산 복잡도는 O(N2)이다. O(N2)의 경우 주어진 데이터의 개수가 늘어날 때 연산 횟수가 제곱에 비례하여 늘어나므로 연산에 필요한 자원이 엄청나다. 따라서 DFT는 데이터의 개수가 조금만 ..
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Discrete Fourier Transform (DFT)Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 15. 22:11
DFT 해석 함수가 존재할 때에는 푸리에 변환식에 이를 넣어 계산하면 되지만 현실에서는 많은 경우 실험과 측정을 통해서 데이터를 얻게 된다. 따라서 해석 함수의 형태가 아닌 이산적인 데이터의 나열을 푸리에 변환하기 위한 방법이 필요하게 된다. 위와 같이 함수 f(x)가 연속인 해석함수로 주어졌을 때 이를 푸리에 변환 식에 대입하면 푸리에 변환을 할 수 있었다. 하지만 위의 빨간색 점과 같이 데이터가 이산적으로 존재하게 되면 이를 푸리에 변환식을 이용하기 어렵다. 따라서 이산적 데이터를 푸리에변환하는 방법이 필요하게 된다. 해석적 함수의 경우 전체함수에 대하여 한번에 각 진동수를 갖는 파형으로 분해하였다면 이산적 데이터의 경우에는 각 데이터점이 어떠한 진동수를 가지고 있는지 분해하여 동일한 진동수끼리 ..
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합성 곱과 푸리에 변환Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 6. 14:13
Convolution 합성곱 (convolution)은 하나의 함수와 또 다른 함수를 반전 이동한 값을 곱한 다음 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 연산자이다. 두개의 함수 f와 g가 있을 때 두 함수의 합성곱은 다음과 같이 나타난다. 합성곱 연산은 두 함수 f, g 가운데 하나의 함수를 반전(reverse), 전이(shift)시킨 다음, 다른 하나의 함수와 곱한 결과를 적분하는 것을 의미한다. 위의 경우에는 함수 g를 반전후 전이시킨 경우이다. 위와 같이 나타내면 함수 f를 반전후 전이시킨 경우이다. 어떠한 함수를 반전후 전이시켰는지와 상관없이 두 식은 형태는 다르지만 항상 같은 값을 갖는다. 함수 f(t)와 g(t)가 위와 같이 주어졌다. 이 함수들을 시간에 대한 입력이..
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The Fourier Transform and DerivativesMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 6. 11:54
The Fourier Transform and Derivatives 함수 f(x)의 푸리에 변환과 푸리에 역변환 식은 다음과 같다. 함수 f(x) x에 대하여 미분한 것의 푸리에 변환을 구하는 과정은 다음과 같다. 1. 푸리에 변환 식에 f(x)대신 f′(x)를 넣는다. 2. f′(x)를 dv e−iwx를 u로 보고 부분적분을 한다. 함수 f′(x)의 푸리에 변환은 함수 f(x)를 먼저 푸리에 변환한 뒤 iw 항을 곱해줌으로서 얻을 수 있다. 위와 같이 푸리에 변환시 미분항이 변환되는 성질을 이용하면 함수 f(x)가 미분 계산이 어려운 경우 푸리에 변환을 통해 함수 f′(x)를 푸리에 변환한 것을 먼저 구한뒤 이를 푸리에 역변환 함으로서 함수 $f'(x..
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푸리에 변환에 대하여Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 5. 23:13
푸리에 급수 푸리에 급수란 임의의 주기 함수 f(x)를 각 진동수 k로 분해하는 과정이다. 분해된 각 진동수 k는 실수 영역에서는 sin 과 cos를 기저로 하여 함수 f(x)와 내적을 통해서 해당 진동수를 갖는 파 중 함수 f(x)를 구성하는 특정 k 진동수의 파형을 나타내었다. 복소수 영역에서는 각 진동수 k를 ψk(k는 서로 다른 정수)를 직교 기저로 하여 함수 f(x)와의 내적을 통하여 파형을 나타 내었다. - 주기가 2π인 경우 푸리에 급수의 형태 - 일반화한 주기가 L일때 푸리에 급수의 형태 - 복소수 공간에서 서로 직교하는 ψk를 직교 기저로 하여 각 진동수 k를 분해하였을 때 푸리에 급수의 형태 ( * 주기를 2L로 하..