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Del 연산Math♾️/Vector Calculus 2022. 9. 27. 10:38
Del 연산자 Del 연산자는 벡터와 같이 하나의 객체가 여러 정보를 가지고 있으며 해당 객체의 변화가 여러 축에 대해서 나타날 때 이에 대해 기술하기 위하여 사용한다. Gradient 스칼라장이 함수로 주어졌을 때 Del을 취하게 되면 스칼라값들이 최대로 변화하는 방향을 나타내는 벡터들로 구성된 벡터장이 된다. 예를 들어 공간상에 온도분포가 주어지면 3차원상에서 각 점들의 온도가 하나의 값으로 나타날 것이다. 여기에 Del 연산을 하면 공간상에서 각 점에서 온도변화의 방향과 크기를 나타내는 벡터장으로 바뀐다. Divergence 벡터장에 Del과 내적을 하면 각 점에서 '변화의 양'을 나타내는 스칼라 값을 갖게 된다. 내적을 이용하면 해당 방향 성분을 얼마나 가지고 있는지 뽑아 낼 수 있으므로 벡터에 ..
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Vector Calculus는 PDE를 위한 언어이다.Math♾️/Vector Calculus 2022. 9. 26. 23:41
어떠한 현상을 분석하고자 했을 때 해당 현상을 구성하고 있는 요소들을 구분하고 이들이 상호작용하는 방식에 대해 기술한다. 따라서 구성요소들의 상호작용의 결과로 현상을 설명하게 된다. 이때 벡터는 구성요소들이 한가지 이상의 정보를 가지고 있을때 이를 나타내기 위해 사용한다. 예를 들어 요소의 직선상에서의 위치만을 고려하였을 때는 위치에 대한 한가지의 정보만을 가지고 있기 때문에 하나의 숫자로 명시해도 구분되지만 3차원상에 표현하게 되면 위치에 대한 3가지의 정보를 가지고 있다. 이에 따라 각 숫자가 가진 위치정보가 무엇인지 나타내야한다. 현상은 무언가가 변화함으로써 관측되게 된다. 이러한 변화를 분석하기 위해서는 구성요소들이 갖고 있는 정보들이 어떻게 변화하는지 알아야한다. 구성요소가 갖고 있는 정보가 여..
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라플라스 변환은 푸리에 변환의 일반형이다.Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 23. 22:07
푸리에 변환 푸리에 변환은 주기 함수의 주기를 무한대로 함으로써 파형의 주기성을 제거하고 파형자체만 남겼다. 이를 진동수 축에 사영시킴으로써 시간에 대하여 나타나던 파형을 진동수에 대해 나타낼 수 있었다. 푸리에 변환을 하기 위해서는 대상이 되는 함수가 주기를 가지고 있어야한다. (하나의 구간에 파형의 전체가 나타나야한다.) 주기를 가진 함수는 주기를 무한대로 보내어 하나의 구간에 대해서 확대되어 나타내면 양쪽값이 0에 수렴한다. 하지만 주기함수가 아닌 일반적인 함수에서 양쪽 값 모두 0에 수렴하지 않는 경우에 푸리에 변환을 적용할 수 가 없다. 라플라스 변환 라플라스 변환은 푸리에 변환을 적용할 수 없는 함수에 대하여 푸리에 변환을 가능하게 한 방법이다. Heaviside 계단 함수를 예로 들면 아래와..
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Wavelets and Multi resolution AnalysisMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 22. 22:54
파형의 분석 방법 파형을 분석하는데 있어서 domain에 따라 세가지 방법으로 나누어졌다. 1. 시간 $t$에 대하여 기본적으로는 시간에 따른 데이터의 변화를 측정한다. -> 자연에서 나타나는 현상의 변화는 기본적으로 시간에 대하여 설명되기 때문이다. 2. 진동수 $w$에 대하여 푸리에 변환을 통해 파형을 구성하는 진동수가 어떤 진동수이며 해당 진동수들이 얼마나 포함되어 있는지 분석 할 수 있었다. 3. 시간 $t$와 진동수 $w$에 대하여 Gabor Transform을 통해 특정 시점에서 어떠한 진동수들이 얼마나 들어있는지 분석 할 수 있었다. * Gabor Transform을 통해서 시간과 진동수 모두에 대하여 파동을 분석할 수 있게 되었지만 불확정성의 원리에 따라 각각에 대하여 분석하였을 때보다 해..
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불확정성의 원리 with Fourier TransformMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 21. 23:14
각 시점에서 파형이 어떠한 진동수로 구성되어 있는지 분해하기 위하여 Gabor Transform을 이용하였다. Gabor Transform을 하게 되면 진동수와 시간을 같은 좌표에서 나타낼 수 있어 특정 시점에서의 진동수들의 분해가 가능하기 때문이다. 하지만 시간 $t$에 대해서만 나타냈을 때와 푸리에 변환하여 진동수 $w$에 대해서만 나타냈을 때와 비교하면 각 축에 대한 해상도가 떨어지는 점을 알 수 있다. ( $\Delta x, \Delta w$가 증가한다.)-> 구분 가능한 개수가 줄어든다. - 불확정성의 원리 Gabor transform을 하였을 때 각각 $t$와 $w$로 나타내었을 때보다 해상도가 떨어지는 이유를 불확정성 원리에 의해 설명된다. 하이젠베르크의 불확정원리는 입자의 위치와 운동량을 ..
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The Spectrogram and the Gabor TransformMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 21. 21:01
Gabor Transform 음악을 듣는다 했을 때 소리는 공기의 진동으로 나타나는 파동의 형태로 귀로 들어오게 될것이다. 이러한 파동을 시간에 대하여 나타내면 아래와 같이 나타난다. 시간 domain에서는 특정시간($t_0$)에서의 파동의 형태를 알 수는 있지만 그 파동이 어떠한 진동수로 구성되어 있는지 알 수가 없다. 위와 같은 파동을 푸리에 변환하게 되면 파동이 어떠한 진동수들로 구성되어 있는지 또 해당 진동수들은 얼마나 포함되어 있는지 알 수 있다. 하지만 진동수 domain에서는 특정 진동수($c$)가 어느 시점(시간)에 나타나는지 알 수 없다. 시간 domain에서는 진동수에 대한 정보가 진동수 domain에서는 시간에 대한 정보가 없어서 특정 시점에서 파동이 어느 진동수로 구성되어 있는지에 ..
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FFT를 이용한 PDE 풀이Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 21. 00:13
Heat Equation (1D) 위의 방정식은 1차원에서의 시간과 위치(x)에 따른 열분포의 변화를 나타내는 편미분방정식이다. 온도 $u$가 시간 $t$와 공간 $t$에 대하여 변화하므로 두가지 변수에 대한 변화를 동시에 고려해야하므로 해를 구하기가 어렵다. 이때 공간 $x$에 대하여 푸리에 변환을 취하게 되면 $x$를 $k$로 상수의 형태로 바뀌므로 시간과 공간에 대한 편미분 방정식이 오로지 시간에만 대한 상미분 방정식으로 바뀌게 된다. 따라서 해를 구하기에 용이해진다. 미분 텀에 대하여 푸리에 변환을 하게 되면 아래와 같은 형태로 나타난다. 따라서 편미분 방정식을 푸리에 변환하게 되면 다음과 같이 바뀌게 된다. 이산적인 데이터에 대하여 FFT를 이용하여 계산할 때는 공간 term에 대한 푸리에 변환..