불확정성의 원리 with Fourier Transform

각 시점에서 파형이 어떠한 진동수로 구성되어 있는지 분해하기 위하여 Gabor Transform을 이용하였다. 

Gabor Transform을 하게 되면 진동수와 시간을 같은 좌표에서 나타낼 수 있어 특정 시점에서의 진동수들의 분해가 가능하기 때문이다.

 

하지만 시간 $t$에 대해서만 나타냈을 때와 푸리에 변환하여 진동수 $w$에 대해서만 나타냈을 때와 비교하면

각 축에 대한 해상도가 떨어지는 점을 알 수 있다. ( $\Delta x, \Delta w$가 증가한다.)-> 구분 가능한 개수가 줄어든다.

 

- 불확정성의 원리

 

Gabor transform을 하였을 때 각각 $t$와 $w$로 나타내었을 때보다 해상도가 떨어지는 이유를 불확정성 원리에 의해 설명된다.

 

하이젠베르크의 불확정원리는 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정하는 것을 불가능하다는 것을 나타낸다. 

즉 하나에 대한 측정의 정확도가 증가하면 다른 하나의 측정의 정확도가 감소하는 상충관계를 갖는다는 것이다. 

 

이를 푸리에변환에 적용하여 해석하면 위에 식에서 보여지는 것과 같이 왼쪽 두항의 곱은 항상 $\frac{1}{16\pi^2}$ 이상이여 하는데

시간의 해상도를 높이려면 시간에 대하여 측정 간격을 좁게 해야하므로 분산이 작은 가우시안을 필터로 사용하게 되므로하나의 진동수에 대한 가우시안은 분산이 커지게 된다. 반대의 경우도 마찬가지이다.

 

따라서 Gabor Transform을 이용하였을 때는 시간과 진동수 모두가 나타나도록 구성해야므로 적절한 정도의 분산을 가진 가우시안 필터를 이용하게 되어 각각에 변수에 대하여 표현되었을 때보다 해상도가 낮아진다. 

 

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