Wavelets and Multi resolution Analysis

파형의 분석 방법

파형을 분석하는데 있어서 domain에 따라 세가지 방법으로 나누어졌다.

 

1. 시간 $t$에 대하여

기본적으로는 시간에 따른 데이터의 변화를 측정한다.

-> 자연에서 나타나는 현상의 변화는 기본적으로 시간에 대하여 설명되기 때문이다. 

2. 진동수 $w$에 대하여

푸리에 변환을 통해 파형을 구성하는 진동수가 어떤 진동수이며 해당 진동수들이 얼마나 포함되어 있는지 분석 할 수 있었다.

3. 시간 $t$와 진동수 $w$에 대하여

Gabor Transform을 통해 특정 시점에서 어떠한 진동수들이 얼마나 들어있는지 분석 할 수 있었다.

* Gabor Transform을 통해서 시간과 진동수 모두에 대하여 파동을 분석할 수 있게 되었지만 불확정성의 원리에 따라 각각에 대하여 분석하였을 때보다 해상도가 모두 감소하였다. (($\Delta x$, $\Delta w$가 증가하였다.)

 

"시간과 진동수에 대해서 분석이 가능해졌지만 해상도가 감소하였다." 이러한 단점을 최대한 없앨 수는 없을까?

 

Wavelets 분석

 

같은 시간 해상도 $\Delta t$에 대하여 낮은 진동수의 경우에는 $\Delta t$ 간격으로 측정된 점들이 구간내에서의 변화를 잘 반영한다.

하지만 높은 진동수의 경우에는 $\Delta t$ 간격으로 측정된 점들이 구간내에서의 변화를 전혀 반영하지 못하고 있다. 

 

이러한 특징을 이용하여

 

낮은 진동수에는 높은 시간 해상도가 필요 없으므로 시간 해상도를 낮추어 진동수 해상도를 높이며

높은 진동수에는 높은 시간 해상도가 필요하므로 진동수 해상도를 낮추어 시간 해상도를 높이는 과정을 수행하면

각 진동수 별로 필요로하는 특징을 더 잘 추출할 수 있게 된다.

 

-> 이러한 과정을 이용한것이 Wavelets 분석 방법이다. 

 

Wavelets 방법은 Gabor transform 때 가우시안을 합성곱을 통해 전이시키면서 각 시간 구간에 대하여 푸리에 변환을 하는 것과 같다.

 

하지만 Gabor transform때는 하나의 가우시안을 사용하였다면 Wavelets 방법은 하나의 함수를 기준으로하여 해당 함수의 폭과 위치를 조정하여 각 진동수에 맞게 시간 구간을 쪼개는데 이때 기준이 되는 함수를 mother wavelet $\psi(t)$이라고 한다. 

 

 $a$는 폭을 조정하며 $b$는 시간축에 대한 위치를 조정한다. 

 

Wavelet trnasform의 수식은 아래와 같이 함수간의 내적으로 표현된다.

mother wavelets 중 Haar wavlets을 예로 들면 다음과 같다. 

Haar wavelets 외에도 데이터의 종류나 분석하는 목적에 따라 다양한 mother wavelets를 사용한다.

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