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• 내쉬균형의 응용 - 쿠르노 모형

  Game Theory 2022. 4. 18. 14:33

  앞서 본 게임에서는 전략들이 이산변수로 나타나 있었다. 즉 경기자들의 전략들 (가위,바위,보에서 가위와 보)처럼 게임내에서 서로가 정확히 구분되는 상태를 가지고 있었다. 하지만 현실에서는 가격과 같이 연속적이거나 정당성향처럼 각 범주안에서도 다양한 스펙트럼이 존재하는 경우처럼 변수들이 연속변수의 형태를 띄고 있다. 위와 같이 각 경기자들의 전략이 연속변수의 형태를 띄고 있는 상황일때 내쉬균형을 찾는 방법을 알아본다. Cournot Model(쿠르노 모형) 동질적 재화 산출량 경쟁 복점모형 1. 해당 재화를 생산하는 기업이 시장에 2 존재하며 두 기업이 생산하는 재화는 차이가 없다. 2. 두 기업이 동시에 산출량을 결정한다.(상대의 생산량을 모르는 상태에서 나의 생산량을 결정) 3. 담합금지(경쟁기업간 생..

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• Solving Nonlinear Equations 05 - Newton's Method for Solving a System of Nonlinear Equations

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 15:46

  방정식의 해→ 해당 방정식을 그래프로 그렸을 때 해는 그래프상에 위치한다. 시스템의 해→ 시스템을 구성하는 방정식들을 그래프로 그렸을 때, 해는 모든 그래프상에 위치한다. 즉 해당 방정식들의 그래프들이 교차하는 지점이 해당 시스템의 해이다. - 비선형 시스템에서 해 찾기 2개의 미지수를 갖는 2개의 비선형 방정식 시스템은 다음과 같이 표현된다. $$f_1(x,y)=0\\f_2(x,y)=0$$ 만약 $x_2,y_2$가 위의 시스템의 해이고 임의로 추정한 $x_1,y_1$이 해에 충분히 가까이 있다고 생각해보자. 위의 조건이 만족한다면 찾고 있는 시스템의 해 $x_2,y_2$에서의 함수 값 $f_1(x_2,y_2),f_2(x_2,y_2)$를 Taylor series expansion을 통해 임의로 추정한..

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• Solving Nonlinear Equation 04-Muller's Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 12:38

  Muller's Method는 $f(x)=0$형태의 방정식의 수치해를 찾는 방법이다. Muller’s Method와 Secant Method는 $f(x)$상의 점을 연결하므로서 생기는 선이 $x$축과 만나는 점을 갱신된 수치해로 하여 이를 반복적으로 수행하는 과정을 거친다는 점에서는 유사하다. 둘의 차이는 이용하는 $f(x)$상의 점의 개수에 있다. Secant Method는 $f(x)$상의 점 두개를 이용하여 얻은 일차함수를 이용했다. Muller’s Method는 $f(x)$상의 점 세개를 이용하여 얻은 이차함수를 이용한다. Muller’s Method에서 사용하는 2차 다항식의 형태는 다음과 같다. $$P(x)=a(x-x_3)^2+b(x-x_3)+c$$ 위의 2차함수는 함수 $f(x)$위의 세점..

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• Solving Nonlinear Equations 03 - Fixed-Point Iteration Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 20:00

  Fixed-point iteration 방법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식의 수치해를 구할 때 사용하는 방법이다. $x=g(x)$형태의 방정식을 $f(x)=0$형태로 바꾸어 해를 구한다. $$x=g(x)\Rightarrow f(x)=g(x)-x=0\,\,$$ $y=x$와 $y=g(x)$의 교차점을 Fixed-Point라고 한다. Fixed-Point Iteration Method 알고리즘 1. 해석해가 존재한다고 추정되는 근처에 $x$축상에 임의로 $x_1$값을 정한다. 2. $x_1$에서 수직으로 올라가서 $g(x)$와 만나는 지점 $g(x_1)$값을 찾는다. 3. $g(x_1)$값에서 수평으로 따라가서 $y=x$와 만나는 점을 찾아 그 점에서 수직으로 내려간다. 이때의 값을 $x_2$로 한다. ..

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• Solving Nonlinear Equations 02- Newton Raphson Method

  Math♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 16:03

  - 뉴턴법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식에 대해서 수치해를 찾는 방법이다. - 뉴턴법을 사용하기 위해서는 함수 $f(x)$가 연속이며 미분가능해야한다 함수의 정의역내에서 임의의 $x_1$을 수치해로 설정한다. $x_1$에 대하여 함수 $f(x)$를 미분하여 tangent line(일차함수)를 구한다. tangent line이 $x$축과 만나는 지점을 다음 수치해 $x_2$로 설정한다. 2~3과정을 충분한 수치해를 얻을 때까지 반복하여 수행한다. - 위 과정을 수식으로 나타내면 다음과 같다. 첫번째 수치해 $x_1$에 대해 $f(x)$를 미분하여 기울기를 얻은 후 이를 tangent line(일차함수)로 나타내면 $$y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)$$ 두번째 수치해 $x_2$는 위에서 구한..

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• 내쉬균형(Nash Equilibrium)

  Game Theory 2022. 4. 15. 14:48

  앞서 도출한 우월전략균형이나 강열등전략의 반복적제거는 우월전략이나 강열등전략이 있는 특수한 경우에서만 적용이 가능하다. 따라서 일반적인 상황에서도 적용할수 있는 균형개념이 필요하다. 균형 게임의 경기자들 중 외부적 충격없이(게임구조의 변화)는 아무도 자신의 전략을 수정할 유인이 없는 상태를 의미한다. 내쉬 균형 2인 게임에서 전략명세 $(s_1^*,s_2^*)$가 다음을 만족하면 $(s_1^*,s_2^*)$는 내쉬 균형이다. - 모든 $s_1\in S_1$에 대해 $u_1(s_1^*,s_2^*)\ge u_1(s_1,s_2^*)$가 성립 - 모든 $s_2\in S_2$에 대해 $u_2(s_1^*,s_2^*)\ge u_2(s_1^*,s_2)$가 성립 이때 각 경기자가 사용하는 전략 $s_1^*,s_2^*$를..

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• 완비정보하의 정태적 게임

  Game Theory 2022. 4. 15. 14:35

  완비정보: 게임에서 플레이어들의 보수구조를 모두 알고 있는 상태 정태적게임: 상대방의 선택을 모르는 상태에서 진행하는 게임 -> 게임의 보수구조는 알고 있지만 각 경기자들이 상대방의 선택을 모르는 채로 의사결정을 해야하는 게임상황 우월전략균형 1. 강우월 (s strictly dominates s') 경기자 2의 어떤 전략 $s_2$에 대해서도 $u_1(s,s_2)>u_1(s',s_2)$가 성립하면 경기자 1에게 전략$s$는 $s'$에 대해 강우월하다고 한다. -> 상대가 가진 모든 전략에 대하여 내가 가진 전략 s가 s'보다 좋은 상황을 의미한다. (상대적인 의미) 이 상황에서는 경기자 1은 반드시 s'보다는 s를 선택하는 것이 합리적이다. 이때 전략s'은 s에 대하여 강열등(strictly domin..

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• 게임이론의 정의

  Game Theory 2022. 4. 15. 10:51

  경제학은 인간의 합리성(rationality)을 기본 전제로 한다. 합리성이란? 목표를 달성하기 위해 최선을 선택을 하는 것을 말한다. 최선의 선택과 관련하여 유용한도구는 최적화(Optimization)이다. 행위주체의 목표를 목적함수로 구성하여 해당 목적함수의 값을 최대화 또는 최소화하는 선택변수의 값을 찾는것이 최적화의 기본적인 형태이다. 하지만 최적화는 기본적으로 일방적인 문제해결 방법이다. 현실에서는 의사결정 주체간의 결정들이 서로 상호작용하여 다른 의사결정을 만들어내는 경우가 많다. 예를 들어 경쟁기업의 가격하락정책을 보고 기존의 가격정책을 변경을 고려하는 기업을 많이 볼 수 있다. 위와 같이 나의 의사결정이 다른사람의 의사결정에 영향을 받는 상황을 전략적 상황(Strategic Situatio..

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