Math♾️/Fourier Analysis
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푸리에 변환에 대하여Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 5. 23:13
푸리에 급수 푸리에 급수란 임의의 주기 함수 $f(x)$를 각 진동수 $k$로 분해하는 과정이다. 분해된 각 진동수 $k$는 실수 영역에서는 sin 과 cos를 기저로 하여 함수 $f(x)$와 내적을 통해서 해당 진동수를 갖는 파 중 함수 $f(x)$를 구성하는 특정 $k$ 진동수의 파형을 나타내었다. 복소수 영역에서는 각 진동수 $k$를 $\psi_k$($k$는 서로 다른 정수)를 직교 기저로 하여 함수 $f(x)$와의 내적을 통하여 파형을 나타 내었다. - 주기가 $2\pi$인 경우 푸리에 급수의 형태 - 일반화한 주기가 $L$일때 푸리에 급수의 형태 - 복소수 공간에서 서로 직교하는 $\psi_k$를 직교 기저로 하여 각 진동수 $k$를 분해하였을 때 푸리에 급수의 형태 ( * 주기를 $2L$로 하..
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Gibbs PhenomenaMath♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 23:19
Gibbs Phenomena 위와 같이 함수에 급격하게 값이 뛰는 점이 존재할 때 이를 불연속 점이라고 한다. 불연속점이 존재하는 함수를 푸리에 급수로 나타내게 되면 아래와 같이 나타난다. 불연속점이 존재하는 근방에서 푸리에 급수를 통해 근사시킨 값들이 진동하는 것을 알 수 있다. 이러한 현상을 깁스 현상이라고 한다. 임의의 주기함수를 푸리에 급수를 이용해 각 진동수 $k$로 분해할 때 진동수 $k$의 파형은 $cos(kx)$과 $sin(kx)$를 기저로 하여 구성되게 된다. 이때 $cos(kx),sin(kx)$ 모두 연속 함수이기 때문에 이들을 결합하여 값이 급격하게 변화하는 불연속 값을 나타내기 어렵다. 파이썬을 이용하여 나타낸 gibbs 현상 import numpy as np import matpl..
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푸리에 급수/ 파이썬으로 확인하기Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 10:25
푸리에 급수 의미 생각 해보기 푸리에 급수는 임의의 연속인 주기함수 $f(x)$ 를 여러 진동수 $k$로 분해하여 나타낸다. 이때 각 진동수는 실수범위 내에서 $coskx$ 와 $sinkx$ 를 직교 기저로 하여 표현된다. 함수간의 내적은 두 함수가 얼마나 닮은가를 측정하므로 분해하려는 주기함수 $f(x)$를 $coskx$, $sinkx$ 와 내적하면 진동수 $k$를 갖는 파장 중 어떠한 모양을 갖는 파장이 함수 $f(x)$에 들어있는지 알 수 있다. * 같은 진동수를 갖는 파장이더라도 파장의 구체적인 형태가 다를 수 있다. 이러한 파장의 구체적인 형태는 $coskx$, $sinkx$의 크기 성분들을 조절하여 해당 모양을 나타낸다. 즉 푸리에 급수를 통해 주기 함수를 나타내게 되면 해당 주기 함수가 어떠..
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복소수 공간에서의 푸리에 급수Math♾️/Fourier Analysis 2022. 6. 20. 12:05
푸리에 급수의 의미 푸리에 급수를 이용하여 함수 f(x)를 k(진동수)를 증가시켜가면서 각 k에서의 사인과 코사인을 직교 기저로 하는 벡터의 합으로 나타낼 수 있었다. 복소수를 포함하는 경우 푸리에 급수 $c_k$는 실수부와 허수부로 나누어지는 복소수이다. 또한 $e^{ikx}$는 오일러 공식에 따라 $cos$와 $sin*i$의 형태로 나타낼수 있다. 위를 양수부와 음수부 그리고 0으로 범위를 나누어서 나타내면 다음과 같다. 위의 식을 전개해서 실수부와 허수부로 나누면 만약 함수 $f(x)$가 실수값을 갖는다면 허수부는 0이 되므로 $e^{ikx}$는 직교기저이다. $e^{ikx}$를 $\psi_k$라고 해보자 (이때 $k$는 정수이다.) 함수간의 내적은 다음과 같이 표현된다. $\psi_k$와 $\ps..
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함수간의 내적에 대하여 생각하기Math♾️/Fourier Analysis 2022. 5. 20. 11:25
벡터에서 내적을 이용하면 각 백터가 상호간에 얼마나 닮았는지를 나타낸다. 벡터 $\vec{u}$ 와 $\vec{v}$는 여러 기저벡터들이 결합되어 해당 방향을 가리키고 있는 것이라고 볼 수 있다. 따라서 기저벡터를 설정하고 그에 대하여 분해한다면 두 벡터는 기저벡터에 대하여 방향이 일치하는 성분과 방향이 일치하지 않는 성분으로 나타날 것이다. 내적은 그중에서 두 벡터의 크기가 일치하는 성분이 얼마나 되는지를 알려준다. 내적을 통해 두 벡터가 크기가 일치하는 성분을 추출하고 나면 해당 성분은 필요에 따라 $\vec{u}$ 또는 $\vec{v}$방향으로 나타낼수 있다. 둘 다 동시에 가지고 있는 크기성분이므로 이 말은 원래 각 벡터가 가지고 있는 성분이다. 따라서 각 방향으로 나타내는 것이 가능하다. 각 벡..
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푸리에 급수란 무엇일까?Math♾️/Fourier Analysis 2022. 5. 19. 23:15
기저벡터기저벡터들의 선형합으로 공간상에 나타나는 벡터들을 모두 표현할 수 있다. 즉 공간을 구성하는 가장 기본이 되는 벡터이다. 서로 직교하는 2개의 벡터 $\vec{x},\vec{y}$가 주어지면 2차원상에 나타나는 모든 벡터들을 이 두가지의 벡터들의 각각 곱에 합으로 나타낼 수 있다.내적어떠한 대상간의 내적을 하게 되면 서로 동일하게 갖고 있는 부분을 추출하는 효과를 가진다. 벡터간 내적벡터간 내적은 $\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{x}^T\vec{y}$로 나타낸다.각요소간의 곱의 합으로 계산되면 결과값은 스칼라값이다. 즉 둘의 벡터가 닮은 정도를 크기로 타나낸낸다. 내적을 이용한 좌표계 변환직교하는 기저벡터들을 이용하여 공간상에 벡터를 분해하여 표기할 수 있다. 따라서 '다른' 직교하..