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• 행렬의 의미 생각하기

  Math♾️/Linear Algebra 2022. 4. 29. 15:10

  $M\times N$ 행렬의 의미 $M\times N$ 행렬이 주어졌을 때, 이를 여러정보를 가지고 있는 객체들을 한 공간상에 나타낸것으로 볼 수 있다. - 이때 $M$은 서로 구분되는(독립인) 정보 종류의 개수를 나타낸다. (공간상에서는 차원으로 표현된다.) - $N$은 $M$개의 구분되는 정보를 갖고 있는 객체들의 개수를 나타낸다. (공간상에 점으로 나타난다.) 나이,키,몸무게로 3명의 사람을 공간상에서 표현한다고 하자. 나이,키,몸무게는 서로 구분되는 특징이기때문에 각각 하나의 독립된 축을 이룰수 있다. 따라서 3차원 공간으로 표현된다. 이 공간상에서 각 사람들은 나이,키,몸무게라는 3가지의 정보를 가진 객체로 표현된다. 위와 같이 세 사람의 키,몸무게,나이에 대한 정보는 구분되어 3차원 공간상에 ..

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• 혼합전략균형의 응용

  Game Theory 2022. 4. 26. 10:48

  순수전략이 3개인 게임 혼합전략의 특성: 혼합전략균형에서 양의 확률로 사용되는 순수전략은 모두 같은 기대보수 값을 가진다. A.1: 상대의 각 순수전략의 확률이 $q_1,q_2$로 주어졌을 때, A의 전략 1에 대한 기대보수 $u_A(1;q_1,q_2)= 1\cdot q_1+4\cdot q_2+1\cdot (1-q_1-q_2)= 1+ 3q_2$ A.2: 상대의 각 순수전략의 확률이 $q_1,q_2$로 주어졌을 때, A의 전략 2에 대한 기대보수 $u_A(2;q_1,q_2)= 2\cdot q_1+2\cdot q_2+5\cdot (1-q_1-q_2)= 5 - 3q_1-3q_2$ A.3: 상대의 각 순수전략의 확률이 $q_1,q_2$로 주어졌을 때, A의 전략 3에 대한 기대보수 $u_A(3;q_1,q_2)=..

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• 혼합전략균형

  Game Theory 2022. 4. 24. 14:50

  이전까지는 전략적 상황에 놓인 경기자들이 주어진 전략 중 하나를 확실히 선택하는 경우에 대하여 최적대응을 구하였다. 그리고 각 경기자들의 최적균형이 교차하는 지점에서 해당 게임의 균형이 형성되는 것을 다루었다. 즉 각 경기자들은 순수전략(하나의 전략을 선택)하고 그에 대한 대응을 고찰하였다. 혼합전략 균형이란 각 경기자들이 순수전략과 다르게 상대의 전략에 확률을 부여하고 확률에 따라 전략을 선택하는 경우에 대해 다룬다. 각 경기자들이 순수전략을 선택하는 게임상황은 경기의 참여자들이 상대의 전략의 구성에 대해서는 알고 있지만 상대가 전략의 구성중 무엇을 어떻게 선택할지에 대한 정보가 없었다. 따라서 상대의 각 전략에 대해 하나를 선택했다고 가정하고 그에 대한 자신들의 최적대응을 구하는 형태로 균형이 형성되..

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• 내쉬균형의 응용 - 네트워크 효과가 있는 경우

  Game Theory 2022. 4. 19. 13:00

  네트워크 효과 사용자가 많을수록 해당 재화를 사용하는 사람들의 효용이 증가하는 상황을 말한다. Social Network Servise가 가장 흔한 이 경우의 예이다. SNS는 해당 플랫폼을 이용하는 사람들의 수가 증가할수록 이용자들이 공유할수 있는 정보의 양이 증가함에 따라 효용이 증가한다. 네트워크 효과에서의 내쉬균형 - 90명의 이용자가 플랫폼 A,B 중 하나를 선택한다. - 사용자수가 각각 a,b일때 이용자의 효용은 $u_A=2a, u_B=b$이다. - 내쉬균형 정의에 따르면 이용자들이 아무도 자신이 선택하고 있는 것을 바꾸려는 유인이 없어야한다. (각 경기자가 선택을 변경함에 따라 해당 경기자의 효용이 감소하거나 적어도 이전과 변화가 없어야한다.) - A의 이용자가 $a$일 경우, B의 이용자는..

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• 내쉬균형의 응용 - 부정적인 외부성이 있는 경우

  Game Theory 2022. 4. 19. 12:37

  부정적인 외부성 어느 경기자의 선택이 다른 사람의 효용을 감소시키지만 그에 대한 보상이 이루어지지 않는 경우를 말한다. 부정적인 외부성이 있는 경우의 예 - 100명의 경기자가 유료도료(H)와 무료도료(L) 중 하나를 선택한다. - 각 경기자들의 효용은 식 $u(m,t)=-(m+t) (m: 통행료, t:시간)$을 따른다. (통행료가 비싸지거나 시간이 오래 걸릴수록 경기자들의 효용은 감소한다.) - 유로도로를 이용했을때는 통행료 $m$이 10을 지불하고 무료도로 이동시 통행료는 지불하지 않는다. - 사용자수 조합이 $(h,l)$인 경우 각각 $h$와 $2l$의 시간이 소요된다. - 유료도로의 사용자수가 $h$라 할 때, 무료도로의 사용자수는 $100-h$이다. - 이 경우에는 특정도로를 택하는 경기자의 수..

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• 내쉬균형의 응용 - 호텔링 모형

  Game Theory 2022. 4. 19. 12:05

  호텔링 모형 기본적으로는 기업의 입지(어디서 장사를 해야 더 많은 손님을 끌어모을까?)에 관한 모형이지만, 제품의 차별화나 선거등의 다양한 주제에 활용되는 모형이다. - 구간 $[0,1]$에 같은 붕어빵을 같은 가격에 파는 상점이 둘이 있다. - 이때 손님들은 더 가까운 붕어빵집을 이용한다. 상점이 거리에 양끝에 위치하게 되면 거리의 중심을 기준으로 왼쪽에 있는 손님들은 왼쪽상점으로 오른쪽에 있는 손님들은 오른쪽 상점으로 갈 것이다. 이때 파란색 붕어빵집이 오른쪽으로 조금 옮겨가면 오른쪽으로 옮긴만큼은 파란색 붕어빵집이 상권을 가지게 되고 붕어빵 집 둘 사이 거리의 반을 각각의 붕어빵집이 나누어 가지게 된다. 이에 대응해서 빨간색 붕어빵집도 상권을 늘리기 위해서 왼쪽으로 옮기게 될것이다. 위의 과정을 반..

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• 내쉬균형의 응용 - 공유지의 비극

  Game Theory 2022. 4. 19. 11:15

  공유지의 비극 공유 자원에 대한 무제한 접근이 허용될때 자원이 사회적으로 바람직한 수준보다 과다하게 사용되어 비효율적인 결과가 초래되는 것을 말한다. 두명의 목축업자가 개인의 이익을 위해 공유지에 소를 방목하는 상황을 생각해보자. 목축업자 1,2는 개별적으로 방목수준 $x_1,x_2$를 결정한다. 이때 목축으로 얻는 총가치를 함수 $V(X)=X(a-X) (X=x_1+x_2, a>c(한계비용))$를 따른다. 각 목축업자는 총 가치 $V(x)$를 방목수준 $x_1,x_2$ 비율로 나누어 가진다. 이 상황을 게임상황으로 표현하면 다음과 같다. 게임상황 1. Player: 목축업자 1,2 2. Strategy: 방목수준 $x_i$ 결정 ($x_i\in S_i=\mathbb{R}_+$) (소의 개체 수는 이산적이..

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• 내쉬균형의 응용 - 베르트랑 모형(Bertrand Model)

  Game Theory 2022. 4. 19. 10:27

  베르트랑 모형 현실에서 기업간 경쟁이 주로 가격경쟁의 형태로 이루어지는 것을 주목하여 만든 가격경쟁 모형이다. - 동질적 재화 생산(기업간 생산품에 대한 구분 없음) - 생산기술 동일(각 기업의 비용함수 동일) - 두 기업의 가격이 동일할 시 시장을 양분 - 두 기업이 가격을 동시에 결정(정태적 게임 상황) - 소비자는 가격이 낮은 제품을 선택한다.( 가격이 1원이라도 상대기업보다 낮을 시 시장을 독점) -> 마지막 특징으로 인해 기업의 보수 함수가 불연속이다.(미분이 불가능하다.) 따라서 기술적으로는 최적대응이 잘 정의되지 않는다. 직관적 해결 균형에서 가격이 최소 $c$(비용) 이상이어야 한다. 위의 상황을 그래프로 나타내면 아래와 같다. $P_i$가 $P_j$보다 높은 경우에는 $q_i=0$이다.-..

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