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내쉬균형의 응용 - 베르트랑 모형(Bertrand Model)Game Theory 2022. 4. 19. 10:27
베르트랑 모형 현실에서 기업간 경쟁이 주로 가격경쟁의 형태로 이루어지는 것을 주목하여 만든 가격경쟁 모형이다. - 동질적 재화 생산(기업간 생산품에 대한 구분 없음) - 생산기술 동일(각 기업의 비용함수 동일) - 두 기업의 가격이 동일할 시 시장을 양분 - 두 기업이 가격을 동시에 결정(정태적 게임 상황) - 소비자는 가격이 낮은 제품을 선택한다.( 가격이 1원이라도 상대기업보다 낮을 시 시장을 독점) -> 마지막 특징으로 인해 기업의 보수 함수가 불연속이다.(미분이 불가능하다.) 따라서 기술적으로는 최적대응이 잘 정의되지 않는다. 직관적 해결 균형에서 가격이 최소 $c$(비용) 이상이어야 한다. 위의 상황을 그래프로 나타내면 아래와 같다. $P_i$가 $P_j$보다 높은 경우에는 $q_i=0$이다.-..
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내쉬균형의 응용 - 쿠르노 모형Game Theory 2022. 4. 18. 14:33
앞서 본 게임에서는 전략들이 이산변수로 나타나 있었다. 즉 경기자들의 전략들 (가위,바위,보에서 가위와 보)처럼 게임내에서 서로가 정확히 구분되는 상태를 가지고 있었다. 하지만 현실에서는 가격과 같이 연속적이거나 정당성향처럼 각 범주안에서도 다양한 스펙트럼이 존재하는 경우처럼 변수들이 연속변수의 형태를 띄고 있다. 위와 같이 각 경기자들의 전략이 연속변수의 형태를 띄고 있는 상황일때 내쉬균형을 찾는 방법을 알아본다. Cournot Model(쿠르노 모형) 동질적 재화 산출량 경쟁 복점모형 1. 해당 재화를 생산하는 기업이 시장에 2 존재하며 두 기업이 생산하는 재화는 차이가 없다. 2. 두 기업이 동시에 산출량을 결정한다.(상대의 생산량을 모르는 상태에서 나의 생산량을 결정) 3. 담합금지(경쟁기업간 생..
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Solving Nonlinear Equations 05 - Newton's Method for Solving a System of Nonlinear EquationsMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 15:46
방정식의 해→ 해당 방정식을 그래프로 그렸을 때 해는 그래프상에 위치한다. 시스템의 해→ 시스템을 구성하는 방정식들을 그래프로 그렸을 때, 해는 모든 그래프상에 위치한다. 즉 해당 방정식들의 그래프들이 교차하는 지점이 해당 시스템의 해이다. - 비선형 시스템에서 해 찾기 2개의 미지수를 갖는 2개의 비선형 방정식 시스템은 다음과 같이 표현된다. $$ f_1(x,y)=0\\f_2(x,y)=0 $$ 만약 $x_2,y_2$가 위의 시스템의 해이고 임의로 추정한 $x_1,y_1$이 해에 충분히 가까이 있다고 생각해보자. 위의 조건이 만족한다면 찾고 있는 시스템의 해 $x_2,y_2$에서의 함수 값 $f_1(x_2,y_2),f_2(x_2,y_2)$를 Taylor series expansion을 통해 임의로 추정한..
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Solving Nonlinear Equation 04-Muller's MethodMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 17. 12:38
Muller's Method는 $f(x)=0$형태의 방정식의 수치해를 찾는 방법이다. Muller’s Method와 Secant Method는 $f(x)$상의 점을 연결하므로서 생기는 선이 $x$축과 만나는 점을 갱신된 수치해로 하여 이를 반복적으로 수행하는 과정을 거친다는 점에서는 유사하다. 둘의 차이는 이용하는 $f(x)$상의 점의 개수에 있다. Secant Method는 $f(x)$상의 점 두개를 이용하여 얻은 일차함수를 이용했다. Muller’s Method는 $f(x)$상의 점 세개를 이용하여 얻은 이차함수를 이용한다. Muller’s Method에서 사용하는 2차 다항식의 형태는 다음과 같다. $$ P(x)=a(x-x_3)^2+b(x-x_3)+c $$ 위의 2차함수는 함수 $f(x)$위의 세점..
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Solving Nonlinear Equations 03 - Fixed-Point Iteration MethodMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 20:00
Fixed-point iteration 방법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식의 수치해를 구할 때 사용하는 방법이다. $x=g(x)$형태의 방정식을 $f(x)=0$형태로 바꾸어 해를 구한다. $$ x=g(x)\Rightarrow f(x)=g(x)-x=0\,\, $$ $y=x$와 $y=g(x)$의 교차점을 Fixed-Point라고 한다. Fixed-Point Iteration Method 알고리즘 1. 해석해가 존재한다고 추정되는 근처에 $x$축상에 임의로 $x_1$값을 정한다. 2. $x_1$에서 수직으로 올라가서 $g(x)$와 만나는 지점 $g(x_1)$값을 찾는다. 3. $g(x_1)$값에서 수평으로 따라가서 $y=x$와 만나는 점을 찾아 그 점에서 수직으로 내려간다. 이때의 값을 $x_2$로 한다. ..
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Solving Nonlinear Equations 02- Newton Raphson MethodMath♾️/Numerical Analysis 2022. 4. 16. 16:03
- 뉴턴법은 $f(x)=0$ 형태의 방정식에 대해서 수치해를 찾는 방법이다. - 뉴턴법을 사용하기 위해서는 함수 $f(x)$가 연속이며 미분가능해야한다 함수의 정의역내에서 임의의 $x_1$을 수치해로 설정한다. $x_1$에 대하여 함수 $f(x)$를 미분하여 tangent line(일차함수)를 구한다. tangent line이 $x$축과 만나는 지점을 다음 수치해 $x_2$로 설정한다. 2~3과정을 충분한 수치해를 얻을 때까지 반복하여 수행한다. - 위 과정을 수식으로 나타내면 다음과 같다. 첫번째 수치해 $x_1$에 대해 $f(x)$를 미분하여 기울기를 얻은 후 이를 tangent line(일차함수)로 나타내면 $$ y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1) $$ 두번째 수치해 $x_2$는 위에서 구한..
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내쉬균형(Nash Equilibrium)Game Theory 2022. 4. 15. 14:48
앞서 도출한 우월전략균형이나 강열등전략의 반복적제거는 우월전략이나 강열등전략이 있는 특수한 경우에서만 적용이 가능하다. 따라서 일반적인 상황에서도 적용할수 있는 균형개념이 필요하다. 균형 게임의 경기자들 중 외부적 충격없이(게임구조의 변화)는 아무도 자신의 전략을 수정할 유인이 없는 상태를 의미한다. 내쉬 균형 2인 게임에서 전략명세 $(s_1^*,s_2^*)$가 다음을 만족하면 $(s_1^*,s_2^*)$는 내쉬 균형이다. - 모든 $s_1\in S_1$에 대해 $u_1(s_1^*,s_2^*)\ge u_1(s_1,s_2^*)$가 성립 - 모든 $s_2\in S_2$에 대해 $u_2(s_1^*,s_2^*)\ge u_2(s_1^*,s_2)$가 성립 이때 각 경기자가 사용하는 전략 $s_1^*,s_2^*$를..
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완비정보하의 정태적 게임Game Theory 2022. 4. 15. 14:35
완비정보: 게임에서 플레이어들의 보수구조를 모두 알고 있는 상태 정태적게임: 상대방의 선택을 모르는 상태에서 진행하는 게임 -> 게임의 보수구조는 알고 있지만 각 경기자들이 상대방의 선택을 모르는 채로 의사결정을 해야하는 게임상황 우월전략균형 1. 강우월 (s strictly dominates s') 경기자 2의 어떤 전략 $s_2$에 대해서도 $u_1(s,s_2)>u_1(s',s_2)$가 성립하면 경기자 1에게 전략$s$는 $s'$에 대해 강우월하다고 한다. -> 상대가 가진 모든 전략에 대하여 내가 가진 전략 s가 s'보다 좋은 상황을 의미한다. (상대적인 의미) 이 상황에서는 경기자 1은 반드시 s'보다는 s를 선택하는 것이 합리적이다. 이때 전략s'은 s에 대하여 강열등(strictly domin..