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푸리에 급수

• 푸리에 변환은 차원을 확장시켜 파형을 분해한다.

  Math♾️/Fourier Analysis 2023. 5. 30. 14:56

  일반적으로 코사인 그래프는 다음과 같이 x(시간) 축에 대하여 y(진폭) 축 방향으로 위, 아래로 왔다 갔다 하면서 나타난다. 시간에 따른 점의 위치를 나타내는 코사인 함수를 각 시간 t에 대한 진폭 값들을 y축에 사영함으로써 시간의 경과를 나타내는 x축을 점의 움직임으로 전환하여 1차원 상에서 표현할 수 있다. 이와 같이 코사인 함수를 일차원상에서 나타내게 되면 시간이 무한이 증가해도 점은 수평면 상에서 좌우로 왔다 갔다 하며 반복적으로 움직일 뿐이다. 이렇게 주기성을 가지는 움직임의 형태를 'sinusodial'이라고 한다. 시간 요소를 점의 움직임으로 나타내면서 일차원 상에서 코사인 그래프를 나타낼 수 있게 되었다. 이 방법을 이용하여 점의 움직임을 2차원으로 확대해 보자. 하나의 좌표축으로 하나의..

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• 푸리에 변환에 대하여

  Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 5. 23:13

  푸리에 급수 푸리에 급수란 임의의 주기 함수 $f(x)$를 각 진동수 $k$로 분해하는 과정이다. 분해된 각 진동수 $k$는 실수 영역에서는 sin 과 cos를 기저로 하여 함수 $f(x)$와 내적을 통해서 해당 진동수를 갖는 파 중 함수 $f(x)$를 구성하는 특정 $k$ 진동수의 파형을 나타내었다. 복소수 영역에서는 각 진동수 $k$를 $\psi_k$($k$는 서로 다른 정수)를 직교 기저로 하여 함수 $f(x)$와의 내적을 통하여 파형을 나타 내었다. - 주기가 $2\pi$인 경우 푸리에 급수의 형태 - 일반화한 주기가 $L$일때 푸리에 급수의 형태 - 복소수 공간에서 서로 직교하는 $\psi_k$를 직교 기저로 하여 각 진동수 $k$를 분해하였을 때 푸리에 급수의 형태 ( * 주기를 $2L$로 하..

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• Gibbs Phenomena

  Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 23:19

  Gibbs Phenomena 위와 같이 함수에 급격하게 값이 뛰는 점이 존재할 때 이를 불연속 점이라고 한다. 불연속점이 존재하는 함수를 푸리에 급수로 나타내게 되면 아래와 같이 나타난다. 불연속점이 존재하는 근방에서 푸리에 급수를 통해 근사시킨 값들이 진동하는 것을 알 수 있다. 이러한 현상을 깁스 현상이라고 한다. 임의의 주기함수를 푸리에 급수를 이용해 각 진동수 $k$로 분해할 때 진동수 $k$의 파형은 $cos(kx)$과 $sin(kx)$를 기저로 하여 구성되게 된다. 이때 $cos(kx),sin(kx)$ 모두 연속 함수이기 때문에 이들을 결합하여 값이 급격하게 변화하는 불연속 값을 나타내기 어렵다. 파이썬을 이용하여 나타낸 gibbs 현상 import numpy as np import matpl..

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• 푸리에 급수/ 파이썬으로 확인하기

  Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 2. 10:25

  푸리에 급수 의미 생각 해보기 푸리에 급수는 임의의 연속인 주기함수 $f(x)$ 를 여러 진동수 $k$로 분해하여 나타낸다. 이때 각 진동수는 실수범위 내에서 $coskx$ 와 $sinkx$ 를 직교 기저로 하여 표현된다. 함수간의 내적은 두 함수가 얼마나 닮은가를 측정하므로 분해하려는 주기함수 $f(x)$를 $coskx$, $sinkx$ 와 내적하면 진동수 $k$를 갖는 파장 중 어떠한 모양을 갖는 파장이 함수 $f(x)$에 들어있는지 알 수 있다. * 같은 진동수를 갖는 파장이더라도 파장의 구체적인 형태가 다를 수 있다. 이러한 파장의 구체적인 형태는 $coskx$, $sinkx$의 크기 성분들을 조절하여 해당 모양을 나타낸다. 즉 푸리에 급수를 통해 주기 함수를 나타내게 되면 해당 주기 함수가 어떠..

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• 복소수 공간에서의 푸리에 급수

  Math♾️/Fourier Analysis 2022. 6. 20. 12:05

  푸리에 급수의 의미 푸리에 급수를 이용하여 함수 f(x)를 k(진동수)를 증가시켜가면서 각 k에서의 사인과 코사인을 직교 기저로 하는 벡터의 합으로 나타낼 수 있었다. 복소수를 포함하는 경우 푸리에 급수 $c_k$는 실수부와 허수부로 나누어지는 복소수이다. 또한 $e^{ikx}$는 오일러 공식에 따라 $cos$와 $sin*i$의 형태로 나타낼수 있다. 위를 양수부와 음수부 그리고 0으로 범위를 나누어서 나타내면 다음과 같다. 위의 식을 전개해서 실수부와 허수부로 나누면 만약 함수 $f(x)$가 실수값을 갖는다면 허수부는 0이 되므로 $e^{ikx}$는 직교기저이다. $e^{ikx}$를 $\psi_k$라고 해보자 (이때 $k$는 정수이다.) 함수간의 내적은 다음과 같이 표현된다. $\psi_k$와 $\ps..

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• 푸리에 급수란 무엇일까?

  Math♾️/Fourier Analysis 2022. 5. 19. 23:15

  기저벡터기저벡터들의 선형합으로 공간상에 나타나는 벡터들을 모두 표현할 수 있다. 즉 공간을 구성하는 가장 기본이 되는 벡터이다. 서로 직교하는 2개의 벡터 $\vec{x},\vec{y}$가 주어지면 2차원상에 나타나는 모든 벡터들을 이 두가지의 벡터들의 각각 곱에 합으로 나타낼 수 있다.내적어떠한 대상간의 내적을 하게 되면 서로 동일하게 갖고 있는 부분을 추출하는 효과를 가진다. 벡터간 내적벡터간 내적은 $\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{x}^T\vec{y}$로 나타낸다.각요소간의 곱의 합으로 계산되면 결과값은 스칼라값이다. 즉 둘의 벡터가 닮은 정도를 크기로 타나낸낸다. 내적을 이용한 좌표계 변환직교하는 기저벡터들을 이용하여 공간상에 벡터를 분해하여 표기할 수 있다. 따라서 '다른' 직교하..

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