순차협상 :: 생각 공방

Game Theory 2022. 5. 25. 10:56

- 전체 보상 1에 대해서 갑과 을이 차례대로 갑이 받을 보상 $S$을 제안한다. (따라서 을이 받을 보상은 $1-S$이다.)

- 상대방이 제안을 받아들일시(Accept) 협상은 종료된다.

- 상대방이 제안을 거절할시(No) 협상은 다음기로 넘어간다.

- 갑과 을의 제안이 모두 거절되었을 때 사전에 정해놓은 보상 $S_3$ , $1-S_3$로 나누어 갖는다.

- 협상이 진행됨에 따라 시간이 흐르므로 각 기에 대한 보상을 서로 비교하기 위해서는 할인계수 $\delta$가 필요하다.

-> 1년 뒤 100원과 현재의 100원을 동등하게 놓고 비교해서는 안된다.

이때 사용하는 것이 할인계수가 0.9일 경우 미래의 100원은 90으로 현재가치화 하여 현재의 보상 100과 비교해주어야한다.

즉 할인계수 $\delta$는 미래와 현재의 보상을 비교하기 위한 보정계수이다.

순차협상의 과정도 동태적 게임의 형태를 띄고 있으므로 역진적 귀납법을 이용하여 부분게임균형을 찾는 방법을 이용하자

1. 2기에서 갑이 을의 제안을 받아들일 경우, 즉 2기에서 갑의 최적대응이 제안을 받아들이는 것일 때 $BR_{갑}^2(S_2)=A$

이를 만족하기 위한 조건은 2기에서 을이 제시한 보상 $\delta S_2$이 3기에 정해진 보상 $\delta^2 S_3$보다 더 크거나 같은 경우

만약 위의 조건을 만족하지 않을시 2기에서 갑의 최적대응은 $BR_{갑}^2(S_2)=N$이다.

2기에서 갑의 최적대응을 요약하면 아래와 같다.

2. 2기에서 갑이 위와 같이 행동할 것을 아는 상태에서의 을의 최적대응

2기에서 을의 목적은 자신이 받을 보상 $1-S_2$를 극대화 하는 것이다. 이를 위해서는 갑이 받을 보상 $S_2$를 최소화 해야한다.

을이 2기에서 협상을 종료시키면서 갑의 보상을 최소화하여 자신의 보상을 최대화하는 2기에서의 을의 제안은 $S_2=\delta S_3$이고 이때 을의 보상은 $(1-\delta S_3)$이다.

만약 갑이 거절시 을의 보상은 $\delta^2(1-S_3)$이다.

즉 2기에서 갑이 행동을 예상하고 있는 을이 2기에서 협상을 끝내는(A) 것이 을의 최적대응일 조건은 아래와 같다.

1. 1기에서 을이 갑의 제안을 받아들이는 경우, 1기에서 을의 최적대응이 제안을 받아들이는 것일 때 $BR_{을}^1(S_1)=A$

1기에 을이 갑의 제안을 받아들이기 위해서는 위에서 구한 2기에서 협상종료가 최적대응일 때의 보수보다 1기의 보수가 더 크거나 같아야 한다.

2. 1기에서 을이 위와 같이 행동할 것을 아는 상태에서의 갑의 최적대응

위와 같이 을이 행동할 것을 아는 갑은 자신의 보수를 최대화 하면서도 1기에 게임을 종료시키위해서

갑은 $S_1=1-(1-\delta S_3)\delta$를 제안할 것이다.

갑이 1기에 위와 같은 제안으로 게임을 종료시키는 것이 최적대응이 될 조건은 2기에서 받게될 보상 $(\delta S_3)\delta$보다 위의 보상이 큰 것이다.

$\delta\le1$인 조건하에서 1기에 게임이 종료되었을 때

갑의 보수는 $S_1=1-(1-\delta S_3)\delta$

을의 보수는 $1-S_1=(1-\delta S_3)\delta$