독립성을 확보할 수록 시스템이 안정된다

독립성이란 무엇인가?

직관적 정의

두 사건 A와 B가 독립적이라는 것은

한 사건에 대한 정보가 다른 사건의 확률을 전혀 바꾸지 않는다

즉, "A가 일어났다는 사실을 알아도 B가 일어날 확률에 대해 추가 정보를 얻지 못한다"는 의미입니다. 

독립성의 수학적 정의

조건부 확률로 표현

두 사건 A와 B가 독립이면

$$P(A|B) = P(A)$$ $$P(B|A) = P(B)$$

B가 일어났다는 정보를 얻어도 A의 확률이 변하지 않고, 반대도 마찬가지입니다. 

독립성의 핵심 공식

독립성의 가장 중요한 결과는 곱셈 법칙입니다. 

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)}$$

수학적 유도

조건부 확률의 정의에서 시작하면 

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

독립성에 의해 $P(A|B) = P(A)$이므로

$$P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

양변에 $P(B)$를 곱하면

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

독립 사건들의 교집합 확률은 각각의 확률을 곱한 것과 같습니다. 

카드 게임으로 이해하는 독립성

52장 카드 덱에서 한 장을 뽑는 상황

• 사건 A: 뽑은 카드가 스페이드
• 사건 B: 뽑은 카드가 퀸

독립성 확인

각각의 확률

• $P(\text{스페이드}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• $P(\text{퀸}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

교집합 확률

• $P(\text{스페이드 퀸}) = \frac{1}{52}$

독립성 검증

$$P(\text{스페이드}) \times P(\text{퀸}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$$

$$P(\text{스페이드 퀸}) = \frac{1}{52}$$

두 값이 같으므로 독립입니다.

시각적 이해

카드 덱을 격자로 표현하면

• 세로축: 13개 숫자 (A, 2, 3, ..., K)
• 가로축: 4개 무늬 (♠, ♥, ♦, ♣)

스페이드는 전체의 1/4 영역을, 퀸은 전체의 1/13 영역을 차지합니다. 이 두 영역이 직교하게 교차하므로 독립적입니다.

각 사건이 독립인 경우, 해당 사건을 이루는 각 영역은 직교한다. ( 특정 점에서만 교차하고 다른 모든 경우 겹치는 부분이 없다.)

IID (Independent and Identically Distributed)

• Independent: 각 시행이 서로 독립
• Identically Distributed: 모든 시행이 같은 분포를 따름

예시: 동전을 5번 던지기

• 각 던지기는 독립적 (이전 결과가 다음에 영향 없음)
• 모든 던지기가 같은 분포 (앞면 확률 = 1/2)

신뢰성 설계와 독립성

직렬 연결 (Series System)

• n개의 부품이 직렬로 연결
• 각 부품의 고장 확률: $p = 0.05$ (5%)
• 하나라도 고장나면 전체 시스템 고장

시스템 고장 확률 계산

직접 계산은 복잡하므로 여사건을 이용

$$P(\text{시스템 고장}) = 1 - P(\text{모든 부품 정상})$$

독립성에 의해

$$P(\text{모든 부품 정상}) = (1-p)^n$$

따라서

$$\boxed{P(\text{시스템 고장}) = 1 - (1-p)^n}$$

수치 예시 (n=10, p=0.05)

$$P(\text{시스템 고장}) = 1 - (0.95)^{10} = 1 - 0.599 = 0.401$$

각 부품이 95% 신뢰도를 가져도, 10개가 직렬로 연결되면 시스템 신뢰도는 60%로 떨어집니다.

병렬 연결 (Parallel System)

• n개의 부품이 병렬로 연결
• 모든 부품이 고장나야 시스템 고장

시스템 고장 확률

$$P(\text{시스템 고장}) = P(\text{모든 부품 고장}) = p^n$$

수치 예시 (n=10, p=0.05)

$$P(\text{시스템 고장}) = (0.05)^{10} = 9.77 \times 10^{-14}$$

병렬 연결은 신뢰도를 천문학적으로 향상시킵니다.

시스템을 구성한 각 요소가 독립적일 수록 시스템의 안정성이 증가한다.