게임이론의 정의

경제학은 인간의 합리성(rationality)을 기본 전제로 한다.  

합리성이란? 목표를 달성하기 위해 최선을 선택을 하는 것을 말한다. 

 

최선의 선택과 관련하여 유용한도구는 최적화(Optimization)이다.

행위주체의 목표를 목적함수로 구성하여 해당 목적함수의 값을 최대화 또는 최소화하는

선택변수의 값을 찾는것이 최적화의 기본적인 형태이다. 

 

하지만 최적화는 기본적으로 일방적인 문제해결 방법이다. 

현실에서는 의사결정 주체간의 결정들이 서로 상호작용하여 다른 의사결정을 만들어내는 경우가 많다.

예를 들어 경쟁기업의 가격하락정책을 보고 기존의 가격정책을 변경을 고려하는 기업을 많이 볼 수 있다. 

위와 같이 나의 의사결정이 다른사람의 의사결정에 영향을 받는 상황을

전략적 상황(Strategic Situation) 또는 게임상황(Game Situation)이라 한다.

이러한 전략적상황을 분석하기 위해서 만든 새로운 분석도구가 Game Theory이다. 

 

즉 게임이론은 전략적 상황에서 행동주체의 의사결정을 연구하는 학문이다. 

 

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게임의 3요소

1. 경기자(Player): 전략적 상황에 처해 의사결정을 해야하는 행동주체이다.

    (게임이론은 전략적 상황을 다루므로 경기자가 최소 2이상이 되어야한다.)

    각 경기자를 $i$라 할때 $n$명의 경기자를 모든 집합을 $I$라하면 $i\in I=\{1,2,\cdots,n\}$이다.

 

2. 전략(Strategy): 각 경기자가 취할수 있는 의사 결정이다. 

    경기자 $i$가 취할 수 있는 개별전략을 $s_i$로 나타낸다.

    경기자 $i$가 취할 수 있는 전략을 모두 모은 집합을 플레이어 $i$에 전략집합이라하며 $S_i$로 나타낸다.

    $s_i\in S_i$ (각 $i$의 전략집한 $S_i$는 같을 수도 다를 수도 있다.)

    예를들어 가위바위보의 전략집합은 $S_1=\{가위,바위,보\}$로 나타낼 수 있다.

 

- 전략명세,전략 프로파일: 전략상황에서는 나의 효용이 나의 선택뿐만 아니라 다른사람들의 선택들에 의해 결정되기 때문에 

  모든 경기자들의 의사결정을 총체적으로 나타낼 필요가 있다.

  각 경기자들의 전략을 모두 나타낸것을 전략명세 또는 전략 프로파일이라고 부르며 $(s_1,s_2,\cdots,s_n)$로 나타낸다. 

  가위,바위,보 게임에서 경기자1이 보 경기자2가 가위를 냈다면 이 게임의 전략명세는 (보,가위)이다. 

 

3. 보수(payoff): 게임의 결과에 따른 각 경기자가 얻는 효용이나 후생을 의미한다.

    전략적 상황에서는 한 경기자의 보수가 그 경기자의 전략이 아니라 전체 경기자의 전략명세에 따라 결정된다. 

    게임의 결과가 경기자들의 선택에 의해 결합적으로 결정되기 때문이다.

    따라서 경기자 $i$의 보수함수를 $u_i( )$라 했을때, 괄호안에 들어가는 것은 전략명세이다. 

    위의 가위,바위,보 게임의 보수함수를 나타내면 $u_1(보,가위)=0$으로 나타나며 이는 경기자 1이 전체 경기자들의 선택 

    보,가위에 의해서 0의 효용을 얻었다고 해석한다. 

 

전략적 상황이 아무리 복잡해 지더라도 일단은 위의 게임의 3요소를 분석하는 것이 게임의 전체적인 상황을 분석하는 첫 단계이다.

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전략형 게임 (Strategic Form Game)

어떠한 전략적 상황이 주어졌을때 이를 경기자-전략-보수를 명시하여 상황을 표현하는 방법이다.

이는 경기자들이 동시에 전략을 선택하는(상대의 전략을 모르는채로) 동시게임(Simultaneous game)이나 정태적 게임(Static game)상황에서 주로 사용되는 표현 방법이다.

 

보수행렬(Payoff Matrix)

전략적 상황을 표현하기 위한 시각적 도구

보수행렬

각 경기자들의 전략과 경기자들의 선택이 교차되는 지점(전략명세)에 대응하는 보수를 표의 형태로 나타낸 것이다. 

예를 들어 경기자1이 $s_{11}$을 택하고 경기자2가 $s_{21}$를 택했다면 게임의 결과는 전략명세 $(s_{11},s_{21})$이며 

게임의 결과에 따른 각 경기자의 보수는 경기자1은 1, 경기자2는 0임을 알수 있다. 

전개형 게임(Extensive Form Game)

경기자들이 순차적으로 의사결정을 하는 순차게임(Sequential game)이나 동태적 게임(Dynamic game)을 나타낼때 주로 사용한다.

전개형 게임이 전략형 게임과 구분되는 점은 전개형 게임에서는 후순위의 경기자가 앞선 경기자들의 의사결정을 자신의 의사결정에 반영할 수 있다는 점이다.

 

게임트리(Game Tree)

게임 트리로 표현한 진입 게임

그림에서 1,2는 각 경기자를 나타내며 선은 각 경기자가 선택할 수 있는 전략, 선의 끝에 있는 숫자는 게임의 결과에 따른 각 경기자들의 보수를 의미한다. 

게임 트리에서 각 경기자의 숫자가 표기된 부분은 각 경기자들이 의사결정을 내리는 점으로 결정마디(desicion node)이다.   

위의 트리를 살펴보면 경기자 2는 경기자 1의 선택을 보고 의사결정을 내릴수 있음을 표현하고 있다.

 

만약 게임트리의 노드가 위처럼 선으로 묶여 있으면 경기자2가 자신이 어떠한 노드에 위치해 있는지 모른는 상태, 즉 상대의 선택을 모르는 상태를 나타낸것이다. 

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공통지식(Common Knowledge)

​공동체내에서 모두가 알고 있고, 또한 이 사실을 통해서 상호간의 연속적인 의사결정 갱신을 가지고 올 수 있는 상태의 지식을 뜻한다. 

 

게임이론에서는 전략적 상황, 게임 그 자체가 공통지식이라고 가정한다.

게임에 참가한 모든 경기자들이 게임의 구조를 알고 있고 그 안에서 합리적인 의사결정을 할 수 있는 상태임을 가정하는 것이다. 

그렇지 않으면 게임의 3요소를 통한 분석이 성립되지 않기 때문이다. 

 

정보의 완비성과 완전성

완비정보

다른 경기자들의 보수구조에 대한 불확실성이 없는 상황을 의미한다. 

완전정보

상대방의 선택에 대해 아는 상황을 의미한다. 

 

* 따라서 동시게임은 기본적으로 불완전정보 상황이다.