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FFT를 이용한 PDE 풀이Math♾️/Fourier Analysis 2022. 9. 21. 00:13
Heat Equation (1D) 위의 방정식은 1차원에서의 시간과 위치(x)에 따른 열분포의 변화를 나타내는 편미분방정식이다. 온도 $u$가 시간 $t$와 공간 $t$에 대하여 변화하므로 두가지 변수에 대한 변화를 동시에 고려해야하므로 해를 구하기가 어렵다. 이때 공간 $x$에 대하여 푸리에 변환을 취하게 되면 $x$를 $k$로 상수의 형태로 바뀌므로 시간과 공간에 대한 편미분 방정식이 오로지 시간에만 대한 상미분 방정식으로 바뀌게 된다. 따라서 해를 구하기에 용이해진다. 미분 텀에 대하여 푸리에 변환을 하게 되면 아래와 같은 형태로 나타난다. 따라서 편미분 방정식을 푸리에 변환하게 되면 다음과 같이 바뀌게 된다. 이산적인 데이터에 대하여 FFT를 이용하여 계산할 때는 공간 term에 대한 푸리에 변환..