푸리에 변환은 차원을 확장시켜 파형을 분해한다.

 

일반적으로 코사인 그래프는 다음과 같이 x(시간) 축에 대하여 y(진폭) 축 방향으로 위, 아래로 왔다 갔다 하면서 나타난다. 



시간에 따른 점의 위치를 나타내는 코사인 함수를 

각 시간 t에 대한 진폭 값들을 y축에 사영함으로써 

시간의 경과를 나타내는 x축을 점의 움직임으로 전환하여 1차원 상에서 표현할 수 있다.

이와 같이 코사인 함수를 일차원상에서 나타내게 되면 

시간이 무한이 증가해도 점은 수평면 상에서 좌우로 왔다 갔다 하며 반복적으로 움직일 뿐이다. 

이렇게 주기성을 가지는 움직임의 형태를 'sinusodial'이라고 한다. 

시간 요소를 점의 움직임으로 나타내면서 일차원 상에서 코사인 그래프를 나타낼 수 있게 되었다. 

이 방법을 이용하여 점의 움직임을 2차원으로 확대해 보자.

하나의 좌표축으로 하나의 삼각함수를 표현할 수 있으므로 2차원으로 확대하면 2개의 삼각함숫값을 표현할 수 있다.  

 

점은 이제 2차 원상에서 움직이며 x축과 y축은 좌표축으로서 독립되어 있다 

(x축 방향의 움직임은 y축 방향의 움직임에 영향을 주지 않으며

또한 y축 방향의 움직임도 x축 방향의 움직임에 영향을 주지 않는다.)

 

점은 x축과 y축 각각에 대하여 위와 같이 'sinusodial' 움직임을 한다.

(x축에 대해서는 좌우로 왔다 갔다. y축에서 대해서는 위아래로 왔다 갔다.)

이 움직임을 하나의 좌표평면 상에 합성하여 나타내면 아래와 같이 원의 형태를 띠며 빙글빙글 도는 모습을 나타낸다.

 

이 움직임의 자취를 시간에 흐름에 따라 x축, y축에 대하여 사영해서 표현하게 되면 

다시 움직임 요소가 시간축으로 나타나면서 

x축에 대해서는 코사인 함수가 y축에 대해서는 사인함수가 나타나게 된다. 

여기까지 정리해 보면

삼각함수의 시간에 대한 값들을 축에 사영함으로써 시간축을 점의 움직임으로 전환하였다. 

이로서 하나의 삼각함수를 하나의 축 상에서 나타낼 수 있게 되었으며

2차원 좌표평면 상에서는 축이 2개 존재하므로 2가지 삼각함수를 각 축에 대해 움직임으로 표현한 뒤

독립된 좌표축은 합성이 가능하기 때문에 각 축의 움직임을 평면상에 합성하여 나타내면 

2차원 상에서 하나의 점의 움직임을 통해 2가지 삼각함수의 값을 동시에 나타낼 수 있게 되었다. 

또한 반대로 이 움직임을 각 축에 대하여 사영하며 점의 자취들을 시간에 따라 표현하게 되면 원래의 삼각함수 그래프를 얻을 수 있게 된다.  

 

 

 

 

삼각함수는 주기성을 가지기 때문에 동일한 형태의 파형이 반복된다. 

2차원의 원 위에서는 하나의 주기에 해당되는 파형은 원 한 바퀴 도는 것으로 표현되며

위의 그림과 같이 삼각함수의 진동수가 다르게 되면 같은 시간 동안 반복되는 파형의 수가 달라진다. 

따라서 진동수가 달라지면 동일한 시간 동안 원을 도는 횟수가 달라진다. 

즉 진동수가 원 위에서 움직이는 점의 속도로 나타난다. 

 

속도는 단위 시간 동안 움직인 거리를 나타낸다.

점은 원의 둘레를 따라 움직이기 때문에 거리는 원의 둘레가 된다. 

점이 1초 동안 움직인 거리를 나타내면 원의 둘레 / 1초이며

원의 둘레는 $2\pi r$이므로  점의 속도는$2\pi r/ sec$로 표현할 수 있다. 

라디안 표기법 

 

아래 그림은 각기 다른 진동수를 가진 점의 움직임을 나타내고 있다. 

진동수가 0.25Hz의 경우 1초 동안 1/4 바퀴를 돌고

진동수가 1Hz인 경우 1초 동안 1바퀴를 도는 것을 볼 수 있다. 

 

움직이는 점의 좌표값을 통해 두 가지 삼각함수 값을 표현할 수 있게 되었으며

움직이는 점의 속도를 통해 해당 삼각함수 값의 진동수를 표현할 수 있게 되었다. 

즉 위의 원들은 각 진동수의 두 가지 삼각함수 값들에 대한 정보를 가지고 있다. 

 

 

여기서 잠깐 푸리에 급수에 대해 살펴보면 푸리에 급수는 하나의 주기함수를

각 진동수의 사인과 코사인에 대해 내적 하여 해당 진동수 성분이 원래의 함수에 얼마 포함되어 있는지를 꺼내는 과정을 통해

하나의 파형을 여러 진동수의 파형으로 쪼개는 절차이다. 

 

 

오일러 등식에서도 확인할 수 있다시피  2차원 상에 원의 형태로 움직이는 점(좌표값, 속도)에는 

푸리에 급수에서 하나의 주기함수를 여러 진동수들로 쪼갤 때 필요한 값(진동수, 사인, 코사인)들을 모두 가지고 있다. 

따라서 이 각기 다른 속도로 움직이는 원들에 원하는 주기함수를 내적(사영)하면 해당 원의 진동수가 얼마나 들어있는지가 

원 위의 자취로 나타나게 된다. 

 

일상 속에서 외부로부터 정보를 저장할 때는 연속적인 신호의 형태를 이산적인 형태로 바꾸어 저장한다. 

이러한 저장 형태를 디지털이라고 하며 아래와 같이 시간에 대한 한 점은 하나의 데이터(샘플)를 나타낸다. 

각 데이터들은 일정한 시간을 간격을 가지고 저장되는데

이때 이 시간 간격을 샘플링 주기라고 한다.

즉 샘플링 주기는 하나의 샘플을 가져오는 데 걸리는 시간을 의미하기 때문에

주기 T의 역수를 취하면 1초 동안 가지고 올 수 있는 데이터의 수를 나타내며 이를 샘플링 진동수라고 한다

 

예를 들어 각 샘플 간의 간격이 2초인 경우 하나의 샘플을 채취하는데 드는 시간이 2초이므로

이의 역수인 0.5는 1초 동안 0.5개의 데이터를 가져올 수 있다는 것을 나타낸다. 

 

샘플링 주기가 짧을수록 (= 샘플링 진동수가 클수록 ) 짧은 시간 동안 더 많은 샘플들을 따 올 수 있다. 

 

현재 위의 디지털 형태로 샘플링한 그래프는 일정한 형태가 반복되는 주기성을 가지고 있으며

파형을 보면 여러 진동수의 파들이 섞여서 만들어진 파형임을 알 수 있다. 

하지만 어떤 진동수의 파형들이 섞여서 현재의 파형의 모습을 갖추었는지 위의 그래프만 가지고서는 알 수가 없다. 

왜냐하면 x축(시간 축)에 대하여 하나의 차원 값 y축(진폭 값)만 갖는 형태로 나타나 있기 때문이다. 

 

여기서 푸리에 급수 개념을 이용하여  샘플링한 그래프를 각기 다른 속도로 돌아가는 원들에 대하여 사영한다.

첫 번째 진동수 1 짜리 원을 보면 그래프가 크게 출렁하는 부분에서는 원상에 움직이는 점의 반지름이 증가하다가 

원점에 가까워지는 부분에서는 원상에 움직이는 반지름이 작아지는 것을 볼 수 있다. 

반지름이 증가하는 부분은 1짜리 진동수 파형이 많이 들어있는 것을 의미하고  

반지름이 감소하는 부분에는 1짜리 진동수 파형이 적게 들어있는 것을 의미한다. 

 

각 진동수의 파형 모습과 분해하려는 그래프를 비교해서 살펴보면 형태가 유사한 부분에 

해당 진동수가 더 많이 들어있는 것을 직관적으로 알 수 있다.

 

 

각 원에서 나타나는 점의 궤적들을 하나의 원에 합쳐 볼 수 있으며 이를 통해 

시간 t에 대해서 표현된 그래프를 서로 다른 속도(진동수)를 가진 원에 사영하여 

반지름과 각도로 표현되는 공간상에서 나타낼 수 있음을 알 수 있다. 

다시 말해 시간에 대해 1차원 값을 갖는 스칼라 값을 반지름과 각도 두 가지 값을 갖는 벡터로 나타낼 수 있게 되었다. 

 

 

 

다음 그림은 분해할 대상이 되는 진동수들의 최댓값을 증가시키면서 더 많은 진동수로 분해되는 모습을 보여준다. 

더 많은 원들에 대하여 사영하게 됨으로써  더 많은 원의 자취가 나타남을 확인할 수 있다. 

이렇게 분해하는 진동수의 수를 증가시켜 나갈 때

Average of all points는 각 원들에 대한 사영을 통해 나타나는 점들의 벡터값을 평균(합의 정규화)하는 것을 보여주므로

하나의 함수를 여러 삼각함수의 합으로 나타내는 푸리에 급수를 나타낸 것이고

 

Power vs frequency는 각 진동수가 얼마나 들어있는지를 보여주며 

시간 도메인을 진동수 도메인으로 바꾸는 푸리에 변환을 나타낸다. 

 

시간을 공간상에 움직임으로 전환함으로써 차원을 확장시키고 난뒤

주기성을 활용하여 시간을 무한으로 늘려 점들의 자취를 확정시키면 각 진동수별 값을 얻을 수 있게 된다. 

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