Solving Nonlinear Equation 04-Muller's Method
Muller's Method는 $f(x)=0$형태의 방정식의 수치해를 찾는 방법이다.
Muller’s Method와 Secant Method는 $f(x)$상의 점을 연결하므로서 생기는 선이 $x$축과 만나는 점을 갱신된 수치해로 하여 이를 반복적으로 수행하는 과정을 거친다는 점에서는 유사하다.
둘의 차이는 이용하는 $f(x)$상의 점의 개수에 있다.
- Secant Method는 $f(x)$상의 점 두개를 이용하여 얻은 일차함수를 이용했다.
- Muller’s Method는 $f(x)$상의 점 세개를 이용하여 얻은 이차함수를 이용한다.
Muller’s Method에서 사용하는 2차 다항식의 형태는 다음과 같다.
$$ P(x)=a(x-x_3)^2+b(x-x_3)+c $$
위의 2차함수는 함수 $f(x)$위의 세점 $(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),(x_3,f(x_3))$를 지난다.
따라서 세점을 위의 $P(x)$에 대입하면 2차 다항식의 계수 $a,b,c$가 정해진다.
$$ f(x_1)=a(x_1-x_3)+b(x_1-x_3)+c\\f(x_2)=a(x_2-x_3)+b(x_2-x_3)+c\\f(x_3)=c $$
$a,b,c$에 대해서 정리하면
$$ c=f(x_3)\\b=\frac{(x_1-x_3)^2[f(x_2)-f(x_3)]-(x_2-x_3)^2[f(x_1)-f(x_3)]}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)(x_1-x_2)}\\a=\frac{(x_2-x_3)[f(x_1)-f(x_3)]-(x_1-x_3)[f(x_2)-f(x_3)]}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)(x_1-x_2)} $$
위의 식을 통해 2차 다항식 계수 $a,b,c$가 정해지면 포물선 $P(x)=0$인 $x$축과 만나는 지점이 다음 수치해로 결정된다.
(근의 공식을 통해 수치해를 구할 수 있다.)
2차다항식은 판별식 $b^2-4ac$에 따라 해의 종류가 달라지는 것을 유의해야한다.